Transpuesta de (1,1) tensor

Question

Transpuesta de (1,1) tensor

Física
covarianza
definición
cálculo tensorial
relatividad general

Shadumu

Cuando transponemos un tensor (1,1), ¿simplemente cambiamos los dos índices mientras mantenemos sus posiciones superior/inferior o los cambiamos y también cambiamos sus posiciones superior/inferior? En general, ¿importaría el orden izquierda/derecha para un tensor? ¿Es cierto que al contraer índices entre dos tensores, queremos que el índice contraído esté muy cerca uno del otro?

Respuestas (2)

Transpuesta de (1,1) tensor

qmecanico · Answer 1

Recuerde que los tensores (1,1) se pueden identificar con operadores lineales
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} A = & \sum_{i j} {mi}_{i} A^{i}_{j} {mi}^{* j} \\ \in & L (V; V) ≅ V \otimes V^{*}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}A~=~&\sum_{ij} e_i~A^i{}_j~e^{\ast j}\cr ~\in~& {\cal L}(V;V)~\cong~V\otimes V^{\ast},\end{align}\tag{1}$ dónde $V$ es el espacio vectorial subyacente.
El elemento traspuesto es de la forma
$\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} A^{T} = & \sum_{i j} {mi}^{* j} (A^{T})_{j}^{i} {mi}_{i} \\ \in & L (V^{*}; V^{*}) ≅ V^{*} \otimes V, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}A^T~=~&\sum_{ij} e^{\ast j}~(A^{T})_j{}^i~e_i\cr ~\in~&{\cal L}(V^{\ast};V^{\ast})~\cong~V^{\ast}\otimes V,\end{align}\tag{2}$ dónde $V^{\ast}$ es el espacio vectorial dual .
Si solo hay variables pares de Grassmann, entonces el tensor transpuesto es
$\begin{matrix} (3) & (A^{T})_{j}^{i} := A^{i}_{j} \end{matrix}$ $(A^{T})_j{}^i ~:=~ A^i{}_j \tag{3}$ en coordenadas locales.
Tenga en cuenta que para tensores en espacios supervectoriales y supervariedades , la supertransposición lleva factores de signo de Grassmann adicionales, consulte, por ejemplo, Ref. 1 para más detalles.

Referencias:

Bryce De Witt, Supermanifolds, Universidad de Cambridge. Prensa, 1992.

¿Estás seguro de que la transposición de un tensor es como (3)? Si A es la transformación de Lorentz y B es su inversa, entonces $B_j{}^i=A^i{}_j$ , que ciertamente no es la transpuesta de A.
Ese parece ser un problema separado causado por el aumento y la disminución de los índices con el tensor métrico, consulte, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.
Una matriz de Lorentz satisface $\Lambda^T\eta\Lambda=\eta$ . O equivalente $\Lambda^T=\eta\Lambda^{-1}\eta^{-1}$ . O de manera equivalente con índices: $\Lambda^{\sigma}{}_{\mu}$ $=(\Lambda^T)_{\mu}{}^{\sigma}$ $=\eta_{\mu\nu}(\Lambda^{-1})^{\nu}{}_{\rho}\eta^{\rho\sigma}$ $=(\Lambda^{-1})_{\mu}{}^{\sigma}$ . Destacamos que la última ec. no implica que $\Lambda^T$ y $\Lambda^{-1}$ son la misma matriz, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Pero su transpuesta e inversa claramente no son el mismo tensor, solo considere un impulso en la dirección x que verá. @Qmechanic♦
@Qmechanic♦ Sé que tiene que estar mal pero... ¿Por qué tu última ecuación no implica eso? $\Lambda^T=\Lambda^{-1}$
$\Lambda^T$ es una matriz para un mapa lineal en ${\cal L}(V^{\ast};V^{\ast})$ mientras $\Lambda^{-1}$ es una matriz para un mapa lineal en ${\cal L}(V;V)$ , entonces son como manzanas y naranjas.
habría adivinado que es $(A^T)^{i}_{\;j}=A^{j}_{\;i}$ ? Porque $A^j_{\;i}$ corresponde a un mapa lineal, y por lo tanto a una matriz, con j el índice de fila yi el índice de columna. Tomar la transposición debería darte otro mapa lineal. ¿Me estoy perdiendo de algo?
En realidad, otra pregunta, ¿por qué está bien escribir esa ecuación? Me parece basado en las posiciones de los índices que $(A^T)^i{}_j$ es en $V\otimes V^*$ mientras $A^i{}_j$ es en $V^*\otimes V$ , por lo que no deberíamos poder escribir esa ecuación.

filipo · Answer 2

Para responder a su pregunta, primero debemos buscar la definición de la transpuesta. Después de reformular su pregunta, será muy sencillo responderla.

Definición. Dejar $V$ y $W$ ser espacios vectoriales sobre un campo $F$ y $A\colon V\to W$ un mapa lineal. Entonces la transposición de $A$ es el mapa lineal
$A^{T} : W^{*} \to V^{*}$ $A^\mathrm{T}\colon W^*\to V^*$ satisfactorio $A^\mathrm{T}(x)=x\circ A$ para todos $x\in W^*$ . También consideramos la siguiente función: $\begin{aligned} Φ : L (V, W) & \to L (W^{*}, V^{*}) \\ A & \mapsto A^{T} \end{aligned}$ $\begin{align} \Phi\colon L(V,W)&\to L(W^*,V^*)\\ A&\mapsto A^\mathrm{T} \end{align}$

Estamos considerando el caso en que $V$ es $n$ -dimensional y $V=W$ . Dejar $\displaystyle{F^{n\times n}}$ ser el conjunto de $n\times n$ -matrices con entradas en $F$ . Dejar $v_1,\ldots,v_n$ ser una base de $V$ , entonces los isomorfismos

\begin{aligned} α : L (V, V) & \to F^{norte \times norte} \end{aligned}

$\begin{align} \alpha\colon L(V,V)&\to F^{n\times n} \end{align}$ y

\begin{aligned} β : L (V^{*}, V^{*}) & \to F^{norte \times norte} \end{aligned}

$\begin{align} \beta\colon L(V^*,V^*)&\to F^{n\times n} \end{align}$ definido por

α (A)_{i j} := A^{i}_{j} := v^{i} (A v_{j})

$\alpha(A)_{ij}:=A^i{}_j:=v^i(Av_j)$ y

β (B)_{metro norte} := B_{metro}^{norte} := v_{metro} B v^{norte} := (B v^{norte}) (v_{metro})

$\beta(B)_{mn}:=B_m{}^n:=v_mBv^n:=(Bv^n)(v_m)$ nos permiten identificar tensores/mapas lineales con matrices. Lo que podemos hacer es preguntar cómo la matriz

M

$M$ asignado a

A \in L (V, V)

$A\in L(V,V)$ está relacionado con la matriz

N

$N$ asignado a

A^{T} \in L (V^{*}, V^{*})

$A^\mathrm{T}\in L(V^*,V^*)$ .

Al desenvolver las definiciones, uno ve fácilmente que $N$ es la transposición de $M$ , es decir $N_{ij}=M_{ji}$ . En otras palabras:

(β \circ Φ \circ α^{- 1}) (METRO) = {METRO}^{T}

$(\beta\circ \Phi\circ\alpha^{-1})(M)=M^\mathrm{T}$

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