Para empezar hablemos de las Ecuaciones de Maxwell; sabemos que las Ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo la Transformación de Lorentz, después de todo, esta es la razón por la que comenzó todo el negocio de la relatividad. Afirmar que una ley es invariante bajo la transformación de Lorentz es equivalente a afirmar que la misma ley es verdadera para cualquier observador en cualquier marco de referencia (eso si entiendo correctamente el significado de la palabra invariante en este contexto ) .
El problema es que esto no es manifiestamente cierto para la Ecuación de Maxwell; para resolver este problema escribimos las ecuaciones de Maxwell usando tensores, este tipo de formulación evidentemente invariante de la Ecuación de Maxwell es tan bonita que merece su propio nombre: Formulación covariante del electromagnetismo clásico. (Para ser precisos, este término se refiere a la expresión de todas las leyes del electromagnetismo de manera invariable, pero las Ecuaciones de Maxwell son las principales).
Pero, ¿por qué escribir una ley usando tensores debería implicar que esa ley seguramente es invariante bajo la transformación de Lorentz? Esto se debe a que: los tensores son invariantes bajo cualquier transformación de coordenadas 1 , por lo que cualquier ley escrita en la forma: tensor es igual a tensor es seguro que será invariante bajo cualquier transformación, incluida la de Lorentz. (La transformación de Lorentz opera en cuatro vectores, etc. Así que en tensor con escala de índices de
a
, por lo que, por supuesto, los tensores en las leyes manifiestamente invariantes deben escalar entre el mismo rango).
Esto es lo que entiendo actualmente sobre este tema, ¿es correcto?
Además, y quizás principalmente, no entiendo por qué la formulación invariante del electromagnetismo se llama covariante ; Me parece que el término covariante está fuera de lugar aquí.
Y por último: si mi razonamiento es correcto, las leyes escritas en la forma: tensor igual a tensor deben ser simultáneamente invariantes bajo cualquier tipo de transformación de coordenadas, no solo la de Lorentz; por lo tanto, incluso si la transformación de Lorentz tuviera otra forma completamente diferente, las leyes escritas con tensores, como la ecuación de Maxwell, serían invariantes de todos modos. Esto me parece muy extraño, ¿es cierto? Quiero decir: esto significaría que, por ejemplo, la ecuación de Maxwell sería invariante sin importar el tipo de transformación; por lo que no habría ninguna relación especial con la transformación de Lorentz en absoluto.
[1]: Por supuesto, los componentes del tensor no son constantes bajo una transformación arbitraria, pero los componentes cambian de tal manera que compensan el cambio de los vectores base, por lo que el tensor en general permanece igual.
Supongamos que tiene dos sistemas y en cada sistema tenemos coordenadas y potenciales vectoriales , , y . Ya que ambos y son vectores sabemos que se transforman como:
,
esto también nos da la ley de transformación para las derivadas:
Que es lo mismo que la transformación de . Ahora, si considera una ley como las ecuaciones de Maxwell:
Esto se transformará como:
Lo que significa que ambas ecuaciones escritas en términos de coordenadas y vectores de cada sistema predicen el mismo comportamiento, porque se puede demostrar que las ecuaciones en el sistema con prima se reducen a las del sistema sin prima.
La discusión anterior fue principalmente para la Relatividad Especial, o transformaciones de coordenadas lineales. Las ecuaciones totalmente covariantes para una transformación de coordenadas genéricas son ligeramente más complejas que las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo , pero la idea subyacente es la misma, la raíz del problema radica en el hecho de que las derivadas no se transforman como en coordenadas curvilíneas, requieren una pieza extra para transformarse como una derivada covariante propiamente dicha .
Pero, ¿por qué escribir una ley usando tensores debería implicar que esa ley seguramente es invariante bajo la transformación de Lorentz?
La ley en sí no es invariante, se transformará en consecuencia, si tiene un índice se transformará como un vector, y así sucesivamente. Pero el punto clave es que la ley en un sistema predice lo mismo que la ley en cualquier otro.
charlie