Tensor frente a densidades de tensor

Question

Tensor frente a densidades de tensor

densidad
Física
covarianza
definición
cálculo tensorial
geometría diferencial

amargamanía

Actualmente estoy leyendo Spacetime and Geometry de Sean Carroll: una introducción a la relatividad general . Según Carroll, el símbolo

d X^{0} \land d X^{1} \land \dots \land d X^{norte - 1},

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{n-1},$

aunque parece un $n$ -forma, no es un tensor sino un tensor de densidad. Sin embargo, estoy confundido en cuanto a cómo puede ser este el caso, ya que según tengo entendido, este símbolo es, por definición, un tensor antisimétrico. En un esfuerzo por entender esto, resolví el caso de dos dimensiones:

d X^{1} \land d X^{2} = d X^{1} \otimes d X^{2} - d X^{2} \otimes d X^{1} .

$dx^1 \wedge dx^2 = dx^1 \otimes dx^2 - dx^2 \otimes dx^1.$

Si tomo esto y lo transformo en coordenadas $y^1$ y $y^2$ , Encontré eso

d X^{1} \otimes d X^{2} - d X^{2} \otimes d X^{1}

$dx^1 \otimes dx^2 - dx^2 \otimes dx^1$

\to (\frac{\partial X^{1}}{\partial y^{1}} d y^{1} + \frac{\partial X^{1}}{\partial y^{2}} d y^{2}) \otimes (\frac{\partial X^{2}}{\partial y^{1}} d y^{1} + \frac{\partial X^{2}}{\partial y^{2}} d y^{2}) - (\frac{\partial X^{2}}{\partial y^{1}} d y^{1} + \frac{\partial X^{2}}{\partial y^{2}} d y^{2}) \otimes (\frac{\partial X^{1}}{\partial y^{1}} d y^{1} + \frac{\partial X^{1}}{\partial y^{2}} d y^{2})

$\rightarrow (\frac{\partial x^1}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^1}{\partial y^2} dy^2) \otimes (\frac{\partial x^2}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^2}{\partial y^2} dy^2) - (\frac{\partial x^2}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^2}{\partial y^2} dy^2) \otimes (\frac{\partial x^1}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^1}{\partial y^2} dy^2)$

= (\frac{\partial X^{1}}{\partial y^{1}} \frac{\partial X^{2}}{\partial y^{2}} - \frac{\partial X^{1}}{\partial y^{2}} \frac{\partial X^{2}}{\partial y^{1}}) d y^{1} \otimes d y^{2} - (\frac{\partial X^{1}}{\partial y^{1}} \frac{\partial X^{2}}{\partial y^{2}} - \frac{\partial X^{1}}{\partial y^{2}} \frac{\partial X^{2}}{\partial y^{1}}) d y^{2} \otimes d y^{1} .

$= (\frac{\partial x^1}{\partial y^1}\frac{\partial x^2}{\partial y^2} - \frac{\partial x^1}{\partial y^2}\frac{\partial x^2}{\partial y^1}) dy^1 \otimes dy^2 - (\frac{\partial x^1}{\partial y^1}\frac{\partial x^2}{\partial y^2} - \frac{\partial x^1}{\partial y^2}\frac{\partial x^2}{\partial y^1}) dy^2 \otimes dy^1.$

Veo que hay un determinante del jacobiano del cambio de coordenadas presente, que es característico de una densidad tensorial, pero no veo cómo esto implica que la forma 2 no es en realidad un tensor, sino una densidad tensorial. ¿Alguien puede ayudarme a conciliar esto?

Respuestas (3)

Tensor frente a densidades de tensor

Erik Jorgenfelt · Answer 1

En primer lugar: déjame dirigirte a esta respuesta. No es una respuesta a su pregunta, sino solo para asegurarse de que estamos en la misma página. Entonces tenga en cuenta que

d X^{0} \land d X^{1} \land \dots \land d X^{norte - 1} = ϵ_{i_{1} i_{2} \dots i_{norte}} d X^{i_{1}} d X^{i_{2}} \dots d X^{i_{norte}},

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{n-1} = \epsilon_{i_1i_2\ldots i_n}dx^{i_1}dx^{i_2}\cdots dx^{i_n},$ dónde

ϵ

$\epsilon$ denota el símbolo Levi-Civita. Conociendo la transformación del símbolo de Levi-Civita, esto es esencialmente lo que mostraste en dos dimensiones extendidas al

n

$n$ -caso dimensional (alternativamente, eche un vistazo a la respuesta de @mas para una prueba explícita de este hecho). Los tensores se pueden definir para obedecer, por ejemplo

T_{i_{1} i_{2} \dots i_{norte}} = Λ_{i_{1}}^{j_{1}} Λ_{i_{2}}^{j_{2}} \dots Λ_{i_{norte}}^{j_{norte}} T_{j_{1} j_{2} \dots j_{norte}},

$T_{i_1i_2\ldots i_n} = \Lambda^{j_1}_{i_1}\Lambda^{j_2}_{i_2}\cdots\Lambda^{j_n}_{i_n} T_{j_1j_2\ldots j_n},$ para alguna transformación de marco

Λ

$\Lambda$ , lo que debería dejar en claro que la declaración de Carroll es correcta, si considera que el símbolo es equivalente al símbolo de Levi-Civita. Sin embargo, si consideras

d x^{0} \land d x^{1} \land \dots \land d x^{n - 1}

$dx^0\wedge dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}$ ser un

n

$n$ -forma no hay razón para esperar que la cantidad transformada debe ser

d y^{0} \land d y^{1} \land \dots \land d y^{n - 1}

$dy^0\wedge dy^1\wedge\cdots\wedge dy^{n-1}$ . Creo que la forma más fácil de explicar esto es notar que podemos reescribir el símbolo de Levi-Civita como

ϵ_{i_{1} i_{2} \dots i_{norte}} = norte! d_{[i_{1}}^{0} d_{i_{2}}^{1} \dots d_{i_{norte}]}^{norte - 1},

$\epsilon_{i_1i_2\ldots i_n} = n!\delta^0_{[i_1}\delta^1_{i_2}\cdots\delta^{n-1}_{i_n]},$ dónde

[i_{1} i_{2} \dots i_{n}]

$[i_1i_2\ldots i_n]$ denota anti-simetrización sobre los índices. Por lo tanto, podemos ver que los componentes del símbolo de Levi-Civita ocultan una antisimetrización de los deltas de Kroenecker y, con fines ilustrativos, podemos considerar la forma 1 definida localmente por los componentes

δ_{i}^{0}

$\delta^0_i$ , es decir

d x^{0}

$dx^0$ .

El punto aquí es que $\Lambda^i_j\delta^0_i = \Lambda^0_j \neq \delta_j^0$ , lo que en realidad quiere decir que no podemos considerar que los componentes estén fijos a $\delta^0_i$ en cualquier marco: la forma 1 $dx^0$ no es equivalente al símbolo $dx^0$ ; es sólo para un conjunto muy restringido de coordenadas que $dx^0 = dy^0$ , es decir, aquellos en los que $x^0 = y^0 + C$ , para alguna constante $C$ ; es decir $x^0$ es solo $y^0$ bajo alguna traducción. correspondientemente

d X^{0} \land d X^{1} \land \dots \land d X^{norte - 1} = d y^{0} \land d y^{1} \land \dots \land d y^{norte - 1},

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{n-1} = dy^0 \wedge dy^1 \wedge \cdots \wedge dy^{n-1},$ si y sólo si la transformación de coordenadas tiene un determinante jacobiano de unidad.

Creo que esto es lo que Carroll quiere advertir al lector, pero me parece una forma confusa de hacerlo. Aunque es cierto que no he leído el libro.

Permítanme probar mi comprensión con un ejemplo. Supongamos que tengo un objeto $D$ que defino diciendo que en cualquier coordenada, toma la forma $dx^1 \wedge dx^2$ . por ejemplo en $y$ coordenadas toma la forma $dy^1 \wedge dy^2$ , y en $z$ coordenadas toma la forma $dz^1 \wedge dz^2$ . $D$ por supuesto, no es un tensor, pero todavía "parece" una forma de 2. ¿Advierte Carroll en contra de pensar en este objeto como un tensor?
@bittermania Por lo que puedo decir, sí. Alternativamente, le está informando cómo un objeto que se ve así en algunas coordenadas se transforma bajo un cambio de coordenadas.
@ErikJörgenfelt uh... ¿cuál es la diferencia entre una forma $dx^0$ y el símbolo $dx^0$ ? no se un significado para $dx^0$ que no sea la forma dual a $\partial_0$ o de manera equivalente, la derivada diferencial/exterior de la función de coordenadas $x_0$ .

Masa · Answer 2

Dado que tanto el producto de la cuña como el símbolo de Levi-Civita son completamente antisimétricos, podemos reescribir $dx^0 \wedge dx^1 \wedge ... \wedge dx^{n-1}$ como

\begin{matrix} (1) & d X^{0} \land d X^{1} \land . . . \land d X^{norte - 1} = \frac{1}{norte!} {\tilde{ϵ}}_{m_{1} m_{2} \dots m_{norte}} d X^{m_{1}} \land d X^{m_{2}} \land . . . \land d X^{m_{norte}} \end{matrix}

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge ... \wedge dx^{n-1} =\frac{1}{n!}\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n} dx^{\mu_{1}} \wedge dx^{\mu_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu_n}\tag{1}$ Donde hay una suma sobre índices repetidos siguiendo la convención de suma de Einstein y

ϵ_{m_{1} m_{2} \dots m_{norte}} = \sqrt{| gramo |} {\tilde{ϵ}}_{m_{1} m_{2} \dots m_{norte}}

$\epsilon_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}}=\sqrt{{|g|}}\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}}$

Ahora bajo las transformaciones de coordenadas $x^{\mu}\rightarrow x'^{\mu}$ , $\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}}$ permanece igual, mientras que la base una forma se transforma como

\begin{matrix} (2) & d X^{m^{'}} = \frac{\partial X^{m^{'}}}{\partial X^{m}} d X^{m} \end{matrix}

$\mathrm{d}x^{\mu'}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\mathrm{d}x^{\mu}\tag{2}$ Usando (2) en (1) rendimientos

\begin{array}{rcl} ϵ_{m_{1} m_{2} \dots m_{norte}} d X^{m_{1}} \land d X^{m_{2}} \land . . . \land d X^{m_{norte}} & = & ({\tilde{ϵ}}_{m_{1} m_{2} \dots m_{norte}} \frac{\partial X^{m_{1}}}{\partial X^{m_{1}^{'}}} \dots \frac{\partial X^{m_{norte}}}{\partial X^{m_{norte}^{'}}}) d X^{m_{1}^{'}} \land d X^{m_{2}^{'}} \land . . . \land d X^{m_{norte}^{'}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n} dx^{\mu_{1}} \wedge dx^{\mu_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu_n} & = & \left(\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n}\frac{\partial x^{\mu_{1}}}{\partial x^{\mu'_{1}}}\cdots\frac{\partial x^{\mu_{n}}}{\partial x^{\mu'_{n}}}\right)dx^{\mu'_{1}}\wedge dx^{\mu'_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu'_n}\notag\\ \end{eqnarray}$ Por lo tanto

\begin{array}{rcl} (3) & {\tilde{ϵ}}_{m_{1} m_{2} \dots m_{norte}} d X^{m_{1}} \land d X^{m_{2}} \land . . . \land d X^{m_{norte}} & = & | \frac{\partial X^{m}}{\partial X^{m^{'}}} | {\tilde{ϵ}}_{m_{1}^{'} m_{2}^{'} \dots m_{norte}^{'}} d X^{m_{1}^{'}} \land d X^{m_{2}^{'}} \land . . . \land d X^{m_{norte}^{'}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n} dx^{\mu_{1}} \wedge dx^{\mu_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu_n} & = & \left|\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\right|\tilde{\epsilon}_{\mu'_{1}\mu'_{2}\cdots\mu'_n}dx^{\mu'_{1}}\wedge dx^{\mu'_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu'_n}\tag{3} \end{eqnarray}$ La expresión (3) prueba la afirmación de que

d x^{0} \land d x^{1} \land . . . \land d x^{n - 1}

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge ... \wedge dx^{n-1}$ es la densidad del tensor.

Como es evidente en el caso bidimensional, el OP está usando la convención donde el producto de cuña es $k!$ veces la convención que está utilizando. Quizás sería más esclarecedor seguir la convención OP. Además, el $\epsilon$ debe entenderse como el símbolo de Levi-Civita en su (1), que no se transforma en el símbolo de Levi-Civita bajo una transformación de coordenadas general. Esto no es un problema en el sentido de que en realidad está transformando el producto en cuña, no los componentes, pero es engañoso afirmar que lo hace.
Gracias por señalar el error, puede verificar la respuesta ahora.
Creo que la mejor manera de hacerlo en su caso sería omitir cualquier conversación sobre la transformación del símbolo Levi-Civita (y el tensor), ya que no lo usará más adelante. Cuando trabaja explícitamente con los formularios de marco, no aplica ninguna transformación a las funciones de los componentes. Más bien, transforma el marco e identifica los componentes transformados recopilando la expresión transformada en la forma estándar. Esto es precisamente lo que haces más adelante.

usuario270244 · Answer 3

Lo que has escrito es básicamente que: la forma 2 en las coordenadas antiguas = det(J) *(la forma 2 en las nuevas coordenadas)

Por eso es un tensor de densidad, transformado por det del jacobiano. Si hubiera sido un tensor, la parte base se habría transformado de manera opuesta a la parte componente, manteniéndola invariante.

En el caso de la forma 2, la antisimetrización introduce el símbolo de levi civita como los componentes de la base tensorial (cuando se expande el producto de cuña como producto externo). Sin embargo, este material no es un invariante de coordenadas y cambia como vimos antes. Espero que esto lo explique.

Tensor frente a densidades de tensor

amargamanía

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Erik Jorgenfelt

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Masa

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