Invariantes de curvatura en relatividad general y singularidades

Question

Invariantes de curvatura en relatividad general y singularidades

rexciro

Supongamos que quiero verificar si una métrica determinada es singular o no. Me interesan las singularidades de curvatura, no las singularidades de coordenadas, por lo que puedo buscar escalares hechos con Ricci, Riemann y Weyl Tensor.

Si encuentro que uno de estos escalares es divergente en alguna parte, entonces termino. Mi problema es el contrario, supongamos que no encuentro singularidades después de verificar algunos invariantes. ¿Cómo puedo estar seguro de que el espacio no es singular? Parafraseado: ¿Existe una base COMPLETA de invariantes de curvatura escalar en la relatividad general? digamos en $D=4$ por la concreción. El caso de vacío en particular.

Escuché en alguna parte que en el vacío y en $D=4$ es suficiente para restringir a: $R$ , $R_{\mu \nu \rho \sigma} R^{\mu \nu \rho \sigma}$ , $R_{\mu \nu } R^{\mu \nu }$ , ${{}^\star R}_{\mu \nu \rho \sigma} R^{\mu \nu \rho \sigma}$ , ${{}^\star R}^{\star}_{\mu \nu \rho \sigma} R^{\mu \nu \rho \sigma}$ . ¿Es esto cierto?

Las referencias son bienvenidas.

EDITAR: para ser más precisos, refiriéndose solo a las singularidades de curvatura (sé que hay otras formas de caracterizar una singularidad como trabajar explícitamente con geodésicas) ¿hay un número mínimo de invariantes para verificar, para concluir que la métrica está libre de divergencias de curvatura?

rexciro

Efectivamente, XD. De todos modos ahora es aún más claro.

m4r35n357

El documento aquí entra en muchos detalles (¡mucho más de lo que puedo digerir por mí mismo!), pero creo que responde en gran medida a su pregunta. arxiv.org/abs/gr-qc/0302095

Asperanz

Solo para la parte del tensor de Ricci, creo que necesitarías

4

$4$ . Podría pensar en estos como los cuatro valores propios de

R_{ν}^{μ}

$R^\mu_\nu$ , que se puede expresar en términos de

R

$R$ ,

R_{μ ν} R^{μ ν}

$R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}$ ,

R_{α}^{μ} R_{β}^{α} R_{μ}^{β}

$R^\mu_\alpha R^\alpha_\beta R^\beta_\mu$ , y

R_{α}^{μ} R_{β}^{α} R_{ν}^{β} R_{μ}^{ν}

$R^\mu_\alpha R^\alpha_\beta R^\beta_\nu R^\nu_\mu$ . Para el tensor de Weyl, supongo que necesitarías 5. Esto viene de ver

C_{μ ν}^{α β}

$C^{\alpha \beta}_{\mu\nu}$ como un

6 \times 6

$6\times 6$ matriz libre de trazas, por lo que hay 6 valores propios sujetos a la restricción de que suman cero,

6 - 1 = 5

$6-1=5$ .

Asperanz

La otra posibilidad es que necesite 20 invariantes totales, ya que el tensor de Riemann tiene 20 componentes independientes en

D = 4

$D=4$ .

Asperanz

También tenga en cuenta que

^{*} R_{μ ν ρ σ}^{*}

$^*R_{\mu\nu\rho\sigma}^*$ no es independiente de

R_{μ ν ρ σ}

$R_{\mu\nu\rho\sigma}$ en

D = 4

$D=4$ .

Asperanz

Esta referencia parece útil para clasificar las invariantes escalares: iopscience.iop.org/article/10.1088/0264-9381/9/5/003/meta

LímiteGravitón

Necesita 20 invariantes en 4 dimensiones como lo señala ansperanz. Esto queda claro en la siguiente conferencia de Ashoke Sen. youtu.be/pxtSkmqps5A Estoy seguro de que conocerá la mayor parte del contenido de la conferencia. El punto es solo que es la cantidad de información invariante contenida en el tensor de Riemann.

rexciro

¿Me puede decir el momento preciso en el que hace esta afirmación en el video? (¡es demasiado largo!) Probablemente te estés refiriendo al hecho de que hay 20 componentes independientes del tensor de Riemann en D=4.

Respuestas (2)

Invariantes de curvatura en relatividad general y singularidades

El documento aquí entra en muchos detalles (¡mucho más de lo que puedo digerir por mí mismo!), pero creo que responde en gran medida a su pregunta. arxiv.org/abs/gr-qc/0302095
Solo para la parte del tensor de Ricci, creo que necesitarías $4$ . Podría pensar en estos como los cuatro valores propios de $R^\mu_\nu$ , que se puede expresar en términos de $R$ , $R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}$ , $R^\mu_\alpha R^\alpha_\beta R^\beta_\mu$ , y $R^\mu_\alpha R^\alpha_\beta R^\beta_\nu R^\nu_\mu$ . Para el tensor de Weyl, supongo que necesitarías 5. Esto viene de ver $C^{\alpha \beta}_{\mu\nu}$ como un $6\times 6$ matriz libre de trazas, por lo que hay 6 valores propios sujetos a la restricción de que suman cero, $6-1=5$ .
La otra posibilidad es que necesite 20 invariantes totales, ya que el tensor de Riemann tiene 20 componentes independientes en $D=4$ .
También tenga en cuenta que $^*R_{\mu\nu\rho\sigma}^*$ no es independiente de $R_{\mu\nu\rho\sigma}$ en $D=4$ .
Esta referencia parece útil para clasificar las invariantes escalares: iopscience.iop.org/article/10.1088/0264-9381/9/5/003/meta
Necesita 20 invariantes en 4 dimensiones como lo señala ansperanz. Esto queda claro en la siguiente conferencia de Ashoke Sen. youtu.be/pxtSkmqps5A Estoy seguro de que conocerá la mayor parte del contenido de la conferencia. El punto es solo que es la cantidad de información invariante contenida en el tensor de Riemann.
¿Me puede decir el momento preciso en el que hace esta afirmación en el video? (¡es demasiado largo!) Probablemente te estés refiriendo al hecho de que hay 20 componentes independientes del tensor de Riemann en D=4.

usuario4552 · Answer 1

Para ser más precisos, refiriéndose solo a las singularidades de curvatura (sé que hay otras formas de caracterizar una singularidad como trabajar explícitamente con geodésicas) ¿hay un número mínimo de invariantes para verificar, para concluir que la métrica está libre de divergencias de curvatura? ?

No. Hay una amplia clase de espaciotiempos, llamados espaciotiempos de invariantes escalares que se desvanecen (VSI), para los cuales todos los invariantes escalares se desvanecen. En particular, una onda plana gravitatoria es VSI. (Esto se deriva del hecho de que la onda puede experimentar cambios Doppler, pero un escalar tiene que permanecer igual bajo un impulso). Puede tener ondas gravitacionales que son singulares en el sentido de incompletitud geodésica (como los "rayos" de Penrose-Hawking ), por lo que ninguna investigación de cualquier número de escalares de curvatura será suficiente para probar que no hay singularidad.

Erik Jorgenfelt · Answer 2

DESCARGO DE RESPONSABILIDAD: nunca he visto la conclusión a continuación hecha explícitamente, pero me parece ser una consecuencia directa de la teoría establecida. No puedo encontrar ningún error en mi pensamiento, por lo que lo publicaré y esperaré su juicio.

El teorema de equivalencia, demostrado por ejemplo en Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann de Cartan , establece que en un marco rígido un número finito de las derivadas covariantes del tensor de Riemann es suficiente para clasificar completamente la geometría local de una variedad semi-riemanniana. Este teorema es la base del Algoritmo de Cartan-Karlhede , y se puede encontrar una declaración más formal en inglés en el artículo de Karlhede aquí .(aunque tenga en cuenta que hace referencia a su propio informe original de USIP, que parece que no puedo encontrar en ninguna parte en línea; tal vez simplemente no sé dónde buscar). El número máximo de derivadas covariantes necesarias en cuatro dimensiones es siete, pero muchas soluciones requieren menos, y los componentes de cualquier derivada covariante superior dependen funcionalmente de los componentes anteriores.

Por lo tanto, considere un marco rígido. Si los cuadrados de todas las derivadas covariantes requeridas son finitos, por ejemplo

| R_{i j k ℓ; {metro}_{1} \dots {metro}_{r}} R^{i j k ℓ; {metro}_{1} \dots {metro}_{r}} | < \infty,

$|R_{ijk\ell;m_1\ldots m_{r}}R^{ijk\ell;m_1\ldots m_{r}}| < \infty,$ entonces las derivadas covariantes son finitas, por lo que por dependencia funcional todas las derivadas covariantes son finitas. Además, en un marco rígido, todas las contracciones del tensor de Riemann son finitas si todos los componentes lo son, al igual que todos los duales. Por lo tanto, me parece que un número finito de derivadas covariantes del tensor de Riemann es suficiente en un marco rígido .

Ahora bien, en un marco rígido dado (bien definido), es decir, tal que los vectores marco $e_i$ son finitas y suaves, las derivadas covariantes son finitas siempre que las componentes $R_{ijk\ell}$ y los coeficientes de rotación de Ricci $\gamma^i{}_{jk}$ también son todos finitos y suaves ( $C^\infty$ ). Esto coincide bien con la teoría establecida en el marco fijo, consulte, por ejemplo, este artículo .

En conclusión : bajo restricción a un marco rígido bien definido, es suficiente mostrar que los componentes del tensor de Riemann y los coeficientes de rotación de Ricci son todos finitos y suaves.

En un marco no rígido, no creo que se pueda hacer una declaración similar, ya que hay casos (por ejemplo, soluciones de ondas gravitacionales) donde se necesita un número infinito de derivadas covariantes para dar una descripción local completa de la geometría.

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usuario4552

Erik Jorgenfelt

Escalar de Ricci para Black Hole

¿Qué ecuación (/solución) predice la existencia de agujeros negros?

¿Puede existir realmente en la naturaleza una singularidad de curvatura (es decir, BH), tal como se define en términos de incompletitud geodésica?

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