¿Por qué el agujero negro de Schwarzschild es una solución de vacío?

La relatividad general es una teoría basada en un modelo matemático bastante riguroso. En este modelo, el tensor de Ricci es una función de la forma

$$\text{Ric} : T\mathcal{M} \times T\mathcal{M} \to \Bbb R$$

mapear dos elementos del espacio tangente de la variedad a los números reales. El tensor de Ricci se define en términos del tensor de Riemann. Para la métrica de Schwarschild, esto implicará componentes de la forma$\approx r^{-n}$, que sólo se define en$\Bbb R \setminus \{0\}$. Por lo tanto, dentro del marco de la relatividad general, es imposible agregar este punto a la variedad. Es lo que se denomina un punto límite singular, y más concretamente una singularidad escalar. Para aquellos, no existe espaciotiempos$(\mathcal M', g')$que puede extender el espacio-tiempo existente$(\mathcal M, g)$y eliminar esas singularidades.

Es posible encontrar extensiones de la relatividad general en las que la variedad esté definida en todos los puntos, pero en cuyo caso debe renunciar a que los tensores se definan en los puntos, utilizando un enfoque más distributivo, en cuyo caso el tensor de Ricci, por ejemplo, sería de la forma

$$\text{Ric} : \mathcal G(\mathcal M, T\mathcal{M} \times T\mathcal{M}) \to \Bbb R$$

dónde$\mathcal G$es una sección generalizada de un paquete vectorial a través de algunas funciones generalizadas de Colombeau en la variedad. En este caso, el tensor de Ricci se puede calcular para producir algo de la forma (para el$tt$componente)

$$R^t_t = -4\pi \delta_\varepsilon(r)$$

dónde$\delta_\varepsilon$es una función delta suavizada en el sentido de las álgebras de Colombeau. Si bien tiene un valor de$r = 0$en un sentido general, ese valor no está realmente en$\Bbb R$, y debería entenderse más como una distribución.

Si bien puede hacer todo eso, no tiene mucho sentido hacerlo, ya que hace que las cosas sean más complicadas sin aportar mucha iluminación a todo el asunto, aparte del hecho de que puede describir la solución de Schwarzschild como la distribución de un punto. partícula.