¿Cómo puedes saber si las coordenadas esféricas son localmente planas en el origen?

Para encontrar puntos donde se rompe la planitud local, una estrategia general es calcular el tensor de curvatura$R_{\mu\nu\rho\sigma}$, y encontrar el lugar geométrico de varias singularidades (puntos donde$R_{\mu\nu\rho\sigma}$se vuelve ilimitado). Excepto en casos raros (es decir, cancelación inusual), el comportamiento singular de$R_{\mu\nu\rho\sigma}$es evidente en el escalar de Ricci$R=R^{\rho\alpha}_{\,\,\,\,\rho\alpha}$.

Una perspectiva alternativa sobre la planitud local implica comprender el comportamiento de las geodésicas cerca del punto de interés. En casos altamente simétricos, las geodésicas nulas pueden proporcionar una forma de investigar puntos donde los componentes métricos parecen ser singulares. Si el espacio-tiempo es realmente regular cerca del punto, los parámetros afines de estas geodésicas dan coordenadas locales, con respecto a las cuales los componentes métricos no son singulares. Por lo tanto, una singularidad de curvatura también se puede considerar como un lugar donde las geodésicas nulas se comportan de manera errática, sin importar qué tan cerca se acerque a la región de comportamiento errático: la región cercana a la singularidad parece curva en cualquier escala.

Con esto en mente: cuando esté interesado principalmente en la región cercana$r=0$, es útil considerar cómo cambia la métrica a medida que aplica la transformación de coordenadas$(t',r')=(\alpha t,\alpha r)$con$\alpha \gg 1$. La métrica con respecto a las nuevas coordenadas es$\alpha^{-2}(-g_{tt}(\alpha^{-1}x)dt'^2+g_{rr}(\alpha^{-1}x)dr'^2+r'^2d^2\Omega)$, y una condición necesaria para la planitud local es que la métrica reescalada se aproxime a algo proporcional a la métrica ordinaria de Minkowski,$-dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2$. Por lo tanto, la forma del componente métrico angular que asumiste restringe fuertemente la forma de$g_{tt}$y$g_{rr}$: en particular, para que la variedad sea localmente plana cerca del origen, es necesario que$g_{tt}(0)=-g_{rr}(0)=1$(esta condición descarta su ejemplo, que tiene una singularidad en forma de cono). También puede notar un comportamiento singular en su ejemplo a partir de la forma de geodésicas nulas: cualquier función$(t(\tau),0,\dots)$es una geodésica nula, pero también lo son funciones de la forma$r(t)=\frac{1}{12}t^2+C$que pasan por el origen.