Curvatura extrínseca en el espacio de Schwarzchild

Ya veo, incluso si toma la métrica 3D como una pequeña perturbación de la $t=0$rebanada del espacio-tiempo de Schwarzchild, la curvatura extrínseca seguirá desapareciendo debido a la métrica 4D?

@Tom ¿Qué quiere decir con una pequeña perturbación? La curvatura extrínseca depende de cómo se incrusta la hipersuperficie en el espacio-tiempo ambiental; si lo cambias para que no sea un $t = \text{const}$superficie más, la curvatura extrínseca no será cero.

Supongo que lo que realmente estoy preguntando es: tome una variedad 4D donde la métrica esté dada por una pequeña perturbación de la métrica de Schwarzchild, es decir. agregar alguna métrica $h_{\alpha \beta}$con componentes cuyo tamaño es pequeño en una norma adecuada (en general supongo que esta métrica no será esféricamente simétrica ni estática). Ahora bien, si tomamos una hipersuperficie espacial de esta variedad 4D, ¿cuáles serían la métrica inducida y la curvatura extrínseca? Supongo que la curvatura extrínseca ya no desaparecerá en este caso.

@Tom, sí, en general, no habría razón para que desaparezca la curvatura extrínseca. Eso y la métrica inducida dependen de la perturbación y de la forma en que elijas la hipersuperficie, para la cual tienes bastante libertad.

¿Podría uno simplemente elegir la hipersuperficie en $t=0$, ya que uno quiere un dato inicial de todos modos. En este caso, ¿cuál sería la métrica inducida y la curvatura extrínseca para la hipersuperficie (o al menos cuál sería la forma general asumiendo cualquier perturbación $h_{\alpha \beta}$?

@Tom Para ser honesto, no sé, eso suena como el tipo de cosas que deberías buscar en un libro. Poisson's A Relativist's Toolkit tiene un montón de cosas sobre hipersuperficies, es posible que tengas algo de suerte allí.

Sí, esto es un poco confuso ya que no estoy seguro de cuál es el $t=0$hipersuperficie sería como la perturbación podría depender del tiempo (objeto arrojado al agujero negro, por ejemplo). Me parece que la gente prueba que algo es cierto para un espacio-tiempo esféricamente simétrico probándolo para conjuntos de datos iniciales esféricamente simétricos (es decir, hipersuperficies). ¿Se puede probar que algo es cierto para una perturbación del espacio-tiempo de Schwarzchild demostrándolo para una perturbación sobre una hipersuperficie en el espacio-tiempo estándar de Schwarzchild? Pero entonces seguramente uno todavía necesita conocer la curvatura extrínseca de algún lado...

es decir. la métrica de Schwarzchild similar al espacio donde $t=0$es una porción espacial de la métrica 4D de Schwarzchild, por lo que si agregamos una perturbación a la métrica espacial de Schwarzchild, ¿también es una porción espacial de una perturbación de la métrica 4D de Scwharzchild?

@Tom, creo que hay un propósito más profundo detrás de sus preguntas que no se ve claramente. ¿Qué motiva tus preguntas? Pero de todos modos, es difícil hacer afirmaciones generales sobre una superficie arbitraria. Puede que te interese el concepto de superficie de Cauchy, que es aquella a partir de la cual puedes predecir todo el futuro de tu espacio-tiempo.

La motivación es que estoy viendo si un método que tengo funciona para probar la desigualdad de Penrose para el espaciotiempo de los agujeros negros que son perturbaciones del espaciotiempo de Schwarzchild. Sin embargo, me estoy confundiendo un poco ya que la desigualdad se establece en términos de formulación de datos iniciales para 3 variedades que son hipersuperficies del espacio-tiempo y en esa formulación se necesita la métrica inducida y la curvatura extrínseca de la hipersuperficie, así que básicamente cuál es la 3-múltiple en ese caso. Para espaciotiempos esféricamente simétricos, creo que uno lo prueba para datos de Cauchy esféricamente simétricos.

En mi caso, no estoy seguro de cuáles deberían ser los datos iniciales para probar el resultado de una perturbación de un espacio-tiempo de Schwarzchild, o cuál sería la forma general para la curvatura métrica y extrínseca inducida.