Escalar de Ricci para Black Hole

Si queremos ser formales, en$r=0$hay una singularidad múltiple. Así que no hay cantidades tensoriales/escalares bien definidas allí (es decir, nuestro formalismo matemático no funciona allí). Por otro lado, como físicos, podemos buscar diferentes ejemplos que se comporten de manera similar. También el campo electromagnético (clásico) generado por una partícula cargada puntual diverge como$r \rightarrow 0$. Sin embargo, hay una diferencia sutil: un campo puede estar mal definido en un punto sin muchos rasguños en la cabeza, para la gravedad lo que está mal definido es el espacio-tiempo mismo, por lo que toda la Física se vuelve difícil allí (generalmente la Física se codifica matemáticamente con funciones de posición y tiempo).

Ha habido intentos de formalizar matemáticamente este problema. En Electrodinámica estudiamos la distribución (deltas de Dirac) de cargas ¿por qué no podemos usarlas en gravedad? A partir de las ecuaciones de Einstein ($G=c=1$,$\Lambda=0$)

$$R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R=8\pi \ T_{ij},$$ y multiplicándolos por $g^{ij}$obtienes la ecuación para el escalar de Ricci $$R=-8\pi\,T$$ dónde $T$es la traza del tensor Energía-momento. Entonces, si la materia se concentra solo en $r=0$usted esperaría una cantidad de distribución que describa $T$y por lo tanto $R$.

En la literatura, es posible encontrar este enfoque: por ejemplo, en este artículo Distributional Nature of the Energy Momentum Tensor of a Black Hole o What Curves the Schwarzschild Geometry? por H. Balasin y H. Nachbagauer.

Encuentran que para un agujero negro de masa de Schwarzschild$M$, el tensor de Ricci debe tener la forma

$$R = 8 \pi \, M\, \delta^{(3)}(x)$$ dónde $x$es la posición en el espacio-tiempo y $\delta^{(3)}$es la función Dirac-delta en el espacio, a saber, cero en todas partes menos en $r=0$. Si estuviera en un espacio-tiempo plano, el delta podría definirse también como $\bigtriangleup\left(1/r\right)=\bigtriangledown^{2}\left(1/r\right)=\delta^{\left(3\right)}\left(x\right)$, pero no estoy seguro en el caso general.

Pero tenemos que tener mucho cuidado con este enfoque distributivo ya que en la singularidad no sabemos qué es físicamente el espacio-tiempo, y la teoría matemática detrás de esto, hasta donde yo sé, para las geometrías pseudo-Riemannianas, no es sólida . , todavía.

Esto depende de cómo hagas el análisis. Si lo haces en el espacio-tiempo de Kruskal, que es la forma más física, es difícil hablar de qué.$r = 0$" es, y la pregunta se vuelve algo mal planteada.

Si lo haces ingenuamente en coordenadas de Schwarzschild, encontrarás que$R$tiene términos que involucran constantes multiplicadas$\nabla^{2}\frac{1}{r}$, que un análisis en, por ejemplo, el libro de Electrodinámica de Jackson, le dirá que son proporcionales a$\delta^{3}(\vec{r})$. Entonces, supongo que depende de lo que estés hablando. Pero ciertamente, no es una locura pensar que la masa se comprime en un área de densidad infinita, lo que tiene que suceder al pegar la distribución de la materia en algo así como una solución de "estrella de polvo colapsando" de Oppenheimer-Snyder en la solución de Schwarzschild después del colapso. Esta completo.

Cuando resuelves las ecuaciones de Einstein para encontrar el agujero negro, el tensor de energía-momento se desvanece en todas partes, incluso en$r = 0$. En ningún momento estás imponiendo que sea una fuente puntual$T_{\mu\nu} \sim \delta(r)$, esto cambiaría la solución. La interpretación de la solución como un agujero negro con una singularidad central viene al inspeccionar las propiedades del espacio-tiempo que obtienes después de resolver las ecuaciones. Por lo tanto, realmente no hay nada en este espacio-tiempo. Recuerda que no pusiste ninguna materia en tu espacio-tiempo, así que no hay nada que pueda dar masa/energía excepto el propio campo gravitatorio (cuyo "tensor" de energía-momentum está oculto en$G_{\mu\nu}$).

Para concluir se tiene$R = 0$en todas partes y en particular en$r = 0$: es por eso que uno necesita dirigir su atención al invariante de Kretschmann más complicado para encontrar la singularidad.