Invariante lagrangiano de Yang-Mills bajo BRST

Question

ppr

En la ecuación 16.47 de Peskin & Schroeder, se afirma que

\begin{matrix} (16.47) & - \frac{1}{2} {gramo}^{2} F^{a b C} F^{C d mi} (A_{m}^{b} C^{d} C^{mi} + A_{m}^{d} C^{mi} C^{b} + A_{m}^{mi} C^{b} C^{d}) = 0 \end{matrix}

$-\frac{1}{2}g^2f^{abc}f^{cde}\left(A_{\mu}\,^{b}c^{d}c^{e}+A_{\mu}\,^{d}c^{e}c^{b}+A_{\mu}\,^{e}c^{b}c^{d}\right) ~=~ 0 \tag{16.47}$

utilizando la identidad de Jacobi

\begin{matrix} (15.70) & F^{a d mi} F^{b C d} + F^{b d mi} F^{C a d} + F^{C d mi} F^{a b d} = 0, \end{matrix}

$f^{ade}f^{bcd}+f^{bde}f^{cad}+f^{cde}f^{abd}~=~0, \tag{15.70}$

dónde $A$ es el campo de norma y $c$ es el campo fantasma de Grassmann.

Estaba tratando de probar esta afirmación y fracasé.

Esto es lo que he probado:

1) escribir $f^{abc}f^{cde}=-f^{dbc}f^{cea}-f^{ebc}f^{cad}$ utilizando la identidad de Jacobi dada.

2) Al volver a etiquetar algunos índices y usar la anticonmutación de los campos fantasma, puedo reescribir la expresión como

+ {gramo}^{2} F^{d b C} F^{C mi a} (A_{m}^{b} C^{d} C^{mi} + A_{m}^{d} C^{mi} C^{b} + A_{m}^{mi} C^{b} C^{d})

$+g^2f^{dbc}f^{cea}\left(A_{\mu}\,^{b}c^{d}c^{e}+A_{\mu}\,^{d}c^{e}c^{b}+A_{\mu}\,^{e}c^{b}c^{d}\right)$

Ahora estoy atascado.

qmecanico · Answer 1

Sugerencias:

El lado izquierdo
$- \frac{1}{2} {gramo}^{2} F^{a b C} F^{C d mi} (A_{m}^{b} C^{d} C^{mi} + C y C yo (b, d, mi))$ $-\frac{1}{2}g^2f^{abc}f^{cde}\left(A_{\mu}^{b}c^{d}c^{e}+{\rm cycl}(b,d,e)\right)$ de la ec. (16.47) se puede volver a etiquetar como $- \frac{1}{2} {gramo}^{2} (F^{a b C} F^{C d mi} + C y C yo (b, d, mi)) A_{m}^{b} C^{d} C^{mi} .$ $-\frac{1}{2}g^2\left( f^{abc}f^{cde}+{\rm cycl}(b,d,e)\right)A_{\mu}^{b}c^{d}c^{e}.$
P&S supone que las constantes de estructura $f^{abc}$ son totalmente antisimétricos, cf. texto debajo de la ec. (15,79).