¿Qué es una teoría de Yang-Mill no abeliana "libre"?

¡Espero que esta pregunta no se cierre como algo completamente trivial!

No pensé en esta pregunta hasta que en el pasado reciente encontré documentos que parecían escribir soluciones bastante simples para "liberar" la teoría de Yang-Mill sobre A d S d + 1 . ¡Las soluciones se parecen bastante a los campos electromagnéticos!

  • ¿No son muy difíciles de encontrar las soluciones exactas clásicas a la teoría de Yang-Mill? ¿No tienen algo que ver con las llamadas ecuaciones de Hitchin? (... Estaría agradecido si alguien me puede indicar alguna literatura expositiva sobre eso...)

Habría pensado que la teoría no abeliana de Yang-Mill no tiene un límite libre genuino, ya que siempre tiene los vértices de calibre de tres y cuatro puntos en cualquier valor del acoplamiento distinto de cero, por pequeño que sea. Esto parecía consistente con lo que se llama "cuantificación del campo de calibre de fondo", donde uno observa las fluctuaciones sobre un campo de calibre independiente del espacio-tiempo clásico que no se puede calibrar a cero a voluntad, ya que entran en el calibre cantidades invariantes que tienen valores no triviales. factores de constantes de estructura en ellos que están fijados por la elección del grupo de calibre y, por lo tanto, nada puede eliminarlos mediante un límite de acoplamiento débil.

Pero hay otra forma de fijar la escala en la que las cosas pueden tener sentido: si uno está trabajando en las convenciones donde el lagrangiano de Yang-Mill parece − 1 gramo 2 F 2 entonces las constantes de estructura son proporcionales a gramo y por lo tanto, un límite de acoplamiento débil enviará todos los conmutadores de calibre a cero.

  • Entonces, en la segunda forma de pensar, el límite "libre" de un no abeliano S tu ( norte C ) La teoría de Yang-Mill parece una teoría de calibre abeliana con el grupo de calibre tu ( 1 ) norte C 2 − 1 . Entonces, ¿es esto lo que se quiere decir cuando la gente habla de la teoría de Yang-Mills no abeliana "libre"? (... ¡que ahora es en realidad abeliano!...)

Agradecería si alguien puede ayudar a reconciliar estos puntos de vista aparentemente contradictorios.

Respuestas (1)

La teoría de norma no abeliana libre es el límite del acoplamiento cero. Así que es cierto, en cierto sentido, que libre S tu ( norte C ) La teoría de calibre es una teoría de norte C 2 − 1 "fotones" libres. Sin embargo, hay una sutileza crucial: es una teoría de calibre, por lo que solo consideramos que los estados invariantes de calibre son físicos. Por lo tanto, ya en la teoría libre, existe una restricción de la "ley de Gauss" que hace que los cálculos (por ejemplo, de la función de partición) no sean triviales y que la física de las teorías libres no abelianas sea diferente de la de las abelianas (al menos en volumen finito). Véase, por ejemplo, este hermoso trabajo de Aharony, Marsano, Minwalla, Papadodimas y van Raamsdonk , que muestra que muchos aspectos termodinámicos del confinamiento ya aparecen en teorías libres en volumen finito.

En ese documento existe este concepto de escribir la ley de Gauss como una declaración de la teoría de la representación que no pude entender. El enunciado de alguna manera es que la ley de Gauss para S tu ( norte C ) La teoría de calibre es que los estados físicos son invariantes bajo condiciones globales. S tu ( norte C ) transformaciones - esto es algo que no pude entender y lo que significa en el lenguaje de las representaciones. ¡Aunque podía entender de forma independiente el conteo de la teoría de Polya, pero su representación integral y sus ecuaciones muy cruciales 3.12 a 3.20 no estaban del todo claras para mí!
He editado mi pregunta sobre el error tipográfico que tenía sobre cuál es la teoría del indicador efectivo en el gramo = 0 punto. Cada generador independiente de S tu ( norte C ) ahora se vuelve "libre" y, por lo tanto, la teoría de calibre en gramo = 0 es tu ( 1 ) norte C 2 − 1 Pero de alguna manera se siente un poco extraño que la teoría de la perturbación tenga sentido incluso cuando el punto sobre el que se está haciendo la perturbación y la teoría real están viendo dos grupos de indicadores diferentes. También puede explicar amablemente cómo se conserva la "ley de Gauss" (¡en el sentido anterior!) gramo = 0 límite a diferencia de los conmutadores?
La restricción de la "ley de Gauss" es solo que los estados deben ser singletes de color; los estados físicos siempre son invariantes de calibre, en otras palabras. No estoy seguro de entender el resto de lo que estás preguntando aquí.
La "Ley de Gauss" que uno aprende en la escuela es la afirmación de que el flujo eléctrico a través de cualquier superficie es proporcional a la carga total contenida en ella. Ahora, ¿cómo se generaliza eso a la afirmación de que todos los estados en la teoría de Yang-Mill son singletes de color? No estoy seguro de cómo reformular esta otra parte de la pregunta: estaba comparando la teoría de la perturbación en la teoría del campo no abeliana con la de cualquier otra teoría.
- a diferencia de cualquier otra teoría, aquí parece que uno está haciendo una expansión perturbativa sobre un punto ( gramo = 0 ) donde, de hecho, el grupo de simetría de la teoría es aparentemente diferente al de la teoría completa. En retrospectiva, parece un poco extraño, es casi como decir eso. S tu ( norte C ) Los procesos no abelianos son solo efectos perturbativos en un tu ( 1 ) norte C 2 − 1 Teoría abeliana, aunque como usted señala el gramo = 0 ¡La teoría todavía tiene muchos de los efectos no abelianos como el confinamiento! (... ¡aunque tiene un grupo de calibre abeliano!...)
En primer lugar, el grupo de calibre g = 0 no es una potencia de U(1). En cambio, es el álgebra de Lie del grupo calibre original con la operación de grupo +. En segundo lugar, parece extraño que el grupo de indicadores en g = 0 sea diferente, pero en realidad tiene sentido. Piensa que estás mirando un punto fijo en una esfera. A medida que el radio de la esfera R tiende al infinito, comienza a parecerse a un plano. Entonces, la topología en R = infinito es diferente de cualquier R finito. Lo mismo sucede aquí: el grupo g = 0 es el espacio tangente en la identidad del grupo completo.
En tercer lugar, para una variedad de espacio compacto, la ley de Gauss implica que la carga total es cero. Elige cualquier superficie. Suponga que divide su colector en dos partes A y B. En el caso compacto, puede tomar cualquier parte como el "interior". Por tanto, la carga en la parte A es proporcional al flujo Phi mientras que la carga en la parte B es proporcional a -Phi: el flujo calculado con orientación inversa. Por lo tanto, la carga total se desvanece. Yendo a la teoría cuántica, significa que su estado es invariante bajo el grupo de simetría, es decir, un singlete.
@Squark ¿Puede explicar amablemente por qué cree que el gramo = 0 grupo calibre no es una potencia de tu ( 1 ) ? No sé a qué te refieres con un álgebra de Lie con una operación de grupo aditiva. Me parece que no tiene sentido más allá de la trivialidad de que cualquier álgebra de Lie también es un grupo abeliano como un espacio vectorial. Pero una vez que hemos deformado (aquí puesto a cero) los paréntesis de Lie es un álgebra de Lie diferente con la misma estructura de grupo abeliana ahí abajo y, por lo tanto, tiene sentido preguntar a qué grupo de Lie corresponde esta nueva álgebra de Lie. (genéricamente no habrá respuesta única)
@Squark Puedo ver su argumento sobre por qué la ley de Gauss significa que en una variedad espacial compacta no hay carga neta, pero no puedo ver el argumento en su última línea donde de esto deriva que los observables físicos en una teoría de calibre cuántico están en Representaciones irreducibles unidimensionales del grupo calibre. Sería útil que lo explicaras detalladamente.
De hecho, me refiero a esta trivialidad, a saber, el álgebra de Lie con suma de vectores considerada como producto de grupo. Este es el grupo que surge porque el límite g -> 0 es esencialmente "acercarse" a la vecindad del elemento de identidad en el grupo original. Para ver esta nota, g puede considerarse como una constante multiplicativa en la definición de la forma Killing, es decir, la métrica en G. Como g -> 0, la métrica -> infinito y, por lo tanto, es lo mismo que R -> límite infinito arriba. De hecho, SU(2) es de 3 esferas, por lo que la analogía es exacta en este caso.
Tenga en cuenta que el grupo original G sobrevive como una simetría en este límite, actuando sobre el álgebra de Lie en la representación adjunta. Es precisamente la invariancia bajo esta simetría la que proviene de la restricción de la ley de Gauss. Ahora, resultaría una potencia de U(1) si tomaras el cociente del grupo abeliano por una red, pero esto violaría la simetría G
Los operadores mecánicos cuánticos Qi correspondientes a las cargas generan la simetría G. Debido a la ley de Gauss, necesitamos imponer las restricciones Qi Psi = 0. Esto significa que Psi tiene que ser G-invariante. Otra forma de entender esto es recordar que G es una simetría de calibre aunque se convierte en una simetría global en este límite.
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