Invariancia modular para género superior

El grupo modular$SL(2,{\mathbb Z})$se genera a$Sp(2h,{\mathbb Z})$, por género$h$. Ese es el grupo que intercambia los ciclos de 1 de la superficie de Riemann mientras conserva los números de intersección (un tensor antisimétrico). Recuerde que el espacio de módulos de las superficies de Riemann es de dimensiones superiores, a saber$(6h-6)$-dimensional (dimensiones reales) para$h>1$.

En general, la invariancia modular en$h=1$garantiza la invariancia modular en todo finito$h$.

Una superficie de género superior se puede considerar como una suma conectada de toros, y el cilindro de enlace en la suma conectada se puede reemplazar por una suma sobre todas las partículas que se propagan. Si la teoría es modular invariante en el toro, sabes que puedes hacer transformaciones modulares en cada toro por separado, y todo es consistente. Es intuitivo que cada gran difeomorfismo de una superficie de alto género se puede generar usando generadores cada uno en el individuo$\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})$'s de los diferentes toros de la suma conectada. Entonces, al conocer la invariancia modular del toro de la teoría, correcta para todos los toros e inserciones en los toros, aprende que los grandes difeomorfismos están bien.

Un boceto de una prueba: corta el toro a lo largo de los bucles en piezas homeomorfas a los triángulos, luego considera la imagen de los bucles bajo difeomorfismo. Restringiendo a cada toro, hay un número de intersección distinto de cero de la imagen de los bucles con los bucles antiguos, y realiza un gran difeomorfismo siempre que esto pueda reducir el número de intersección. continúe en cada toroide hasta que no pueda reducir más los números de intersección. En este punto, el número de intersección debe ser lo más bajo posible, y esto significa que las curvas son isotópicas a su posición original, por lo que el difeomorfismo ahora está continuamente conectado a la identidad.

No revisé esto en detalle (debería), pero el lema principal que necesita --- que siempre puede reducir un número de intersección no mínimo al isotopizar las curvas para acercarse a un género y hacer un$\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})$es muy plausible. También podría haber una prueba más fácil.

Una referencia de revisión para el caso de las supercuerdas en el formalismo NSR: http://arxiv.org/abs/0804.3167

Me han dicho que el formalismo de espinor puro ha ido un poco más allá en la cuenta del género.