Campos de torsión de punto de ramificación e inserciones de operadores en una variedad de Riemann

La segunda fórmula no es una generalización de la primera, es una simple consecuencia de la definición de los campos de torsión, como la primera. Estas fórmulas solo definen la integral de trayectoria formal para la superficie de Riemann, y luego las funciones de correlación del "campo de torsión" se definen esencialmente para reproducir las funciones de correlación. (Seré explícito sobre la definición, ver más abajo).

El documento utiliza la notación$\tau$y$\bar{\tau}$para los campos de torsión, en lugar de$\Phi$y$\bar{\Phi}$, voy a usar eso. Estos campos no aparecen en el Lagrangiano, no se integran sobre ellos, no tienen dinámica, no representan partículas de ningún tipo, no son nada físico de ese tipo. Estos son campos inventados. Actúan para cambiar las condiciones de contorno de la integral de trayectoria usando algunas líneas de corte, y son operadores locales solo en el sentido de que insertarlos depende solo de la posición en la que se insertan, no de cómo se dibujan las líneas de corte entre ellos.

Para ver cuáles son, considere (siguiendo la explicación de Cardy) n-copias de la teoría de campo dada, digamos una teoría de un solo escalar$\phi$, y luego las n-copias son$\phi_i$con i de 1 a n. Dado que acaba de duplicar la teoría n veces sin interacción, tiene una acción que es la suma de la acción de cada campo por separado. Estas copias de n veces que no interactúan entre sí tienen una simetría de permutación obvia, cualquier permutación de los campos es equivalente a cualquier otra. Esta simetría cíclica es obvia: los campos son todos iguales, cada uno tiene la misma acción.

Considere el subgrupo de permutaciones cíclicas que desplazan el campo$i$al campo$i+1$, y supongamos que usamos esta simetría para definir una nueva teoría de campos, en la que hay una línea horizontal especial que va entre dos puntos A y B separados horizontalmente. Cuando cruzas esta línea hacia arriba, el campo i se convierte en el campo i+1, cuando cruzas bajando, vuelve al campo i.

Decir que el campo se convierte en otro campo es simplemente decir que los campos están cambiando "discontinuamente" al cruzar esta línea (lo puse discontinuamente entre comillas porque los campos cuánticos siempre son discontinuos, pero el valor en un punto de la integral de trayectoria depende de los valores cercanos, y en este caso el campo del que dependes cambia) --- la acción en la integral de trayectoria hace que el valor del campo$\phi_1$justo debajo de la línea relacionada con el valor de$\phi_2$justo encima de la línea, y no tiene nada que ver con el valor de$\phi_1$justo por encima de la línea.

Puedes imaginar esto en una simulación de la teoría del campo libre. En tal simulación, elige un sitio de celosía y reemplaza el valor en el sitio con el promedio del mismo campo en los cuatro vecinos, más un valor gaussiano aleatorio de un cierto ancho fijo (dependiendo del espaciado de la celosía). Justo debajo de la línea mágica, el vecino superior que promedia para encontrar el valor deseado del campo 1 es el campo número 2, y de manera similar para el campo 2, usa el campo 3 arriba de la línea en el promedio, y así sucesivamente cíclicamente.

Esto toma la teoría de n-copias en$R^2$a la teoría sobre una superficie de Riemann (por la definición de una superficie de Riemann con cortes), por definición.

Pero ahora observe algo agradable: la posición de la línea es completamente arbitraria, siempre que los puntos finales permanezcan iguales. Si mueve la línea hacia arriba, siempre que tenga el mismo punto final, puede redefinir localmente los valores de la red utilizando la simetría de permutación cíclica para que la teoría con este loco cambio permanezca exactamente igual . Por ejemplo, supongamos que movemos todas las posiciones en el medio de la línea hacia arriba en un espacio de celosía. Para todos los puntos que antes estaban arriba, pero ahora están abajo, simplemente mueva el valor de$\phi_i$en cualquier configuración para$\phi_{i-1}$. El corte sigue haciendo lo mismo, la función de partición es exactamente la misma, pero el corte está en una posición completamente diferente. Esto es lo estándar en las superficies de Riemann --- la posición del corte es arbitraria.

Lo que esto significa es que la teoría con el corte puede pensarse como una teoría con dos inserciones, en cada extremo del corte. La propiedad de estas inserciones es que cuando tomas campo$\phi_i$alrededor de la izquierda en sentido contrario a las agujas del reloj, terminas en$\phi_{i+1}$, y si haces lo mismo alrededor de la derecha, terminas en$\phi_{i-1}$. Esto define los campos de torsión.$\tau$y$\bar\tau$, que actúan en A y B. Lo que hacen es producir un comienzo y un final de un corte de rama, y ​​puedes vincular los comienzos y los extremos entre sí (o hasta el infinito) y tienes la misma función de partición.

Entonces, para encontrar la función de correlación con inserciones de torsión:

• hacer un corte entre los$\tau$'arena$\bar\tau$'s (de cualquier manera)
• simular la teoría con los cortes.
• Encuentre el valor esperado de O.

Si O=1, entonces obtienes la función de partición en la superficie de Riemann (la función de partición del corte, que es solo 1 en la definición de simulación anterior, ya que en una simulación probabilística Z=1). Si simula un operador no trivial O, encuentra la función de correlación de O en presencia del corte. Esto es lo que significan las dos fórmulas de Cardy.

El hecho de que pueda interpretar los campos de torsión como operadores locales es muy útil y le permite encontrar OPE y resolver el problema de la superficie de Riemann. Pero las fórmulas que proporciona son simplemente definiciones, y cualquier confusión está en la imagen de alto nivel que las define. Espero que esto aclare todo, pero no dice nada más o diferente que Cardy, excepto en palabras diferentes. Quizás esto haga clic mejor.

Creo que LHS de eqn 2.7 está normalizado, lo que significa

$\frac{1}{Z}\int\mathcal{D}\phi \mathcal{O} exp\left(-S_{E}\left[\phi\right]\right)$evaluado en$\mathcal{M}_{n}$

Si pones$\mathcal{O} =1$, obtienes 1.

Pero$Z$en sí mismo es proporcional a la función de correlación de los dos campos primarios

referencia: https://arxiv.org/abs/hep-th/0405152

secta IIIA