Agregar un término derivado de tiempo total al Lagrangiano

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Agregar un término derivado de tiempo total al Lagrangiano

cyksmy

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Esta es una prueba de que $L'$ representa la misma ecuación de movimiento con $L$ a través de la ecuación de Lagrange. Entiendo $L'$ satisface la ecuación de Lagrange, pero ¿cómo significa esta demostración? $L'$ y $L$ describir el mismo movimiento de partícula? En otras palabras, ¿por qué el término derivado del tiempo total que se suma a $L$ no hacen ninguna diferencia en la ecuación de movimiento?

qmecanico

La razón geométrica/intuitiva por la que esto es así se explica, por ejemplo, en esta publicación de Phys.SE (en el marco más general de la teoría de campos).

usuario3728501

Tus pasos algebraicos son confusos en algunos lugares. Además, no indicó que está asumiendo que F no es una función explícita de la derivada temporal de las coordenadas, que se requiere para el paso después de "Esto se demuestra que es cierto porque"

Respuestas (5)

Agregar un término derivado de tiempo total al Lagrangiano

La razón geométrica/intuitiva por la que esto es así se explica, por ejemplo, en esta publicación de Phys.SE (en el marco más general de la teoría de campos).
Tus pasos algebraicos son confusos en algunos lugares. Además, no indicó que está asumiendo que F no es una función explícita de la derivada temporal de las coordenadas, que se requiere para el paso después de "Esto se demuestra que es cierto porque"

ryan unger · Answer 1

Has visto que la sustitución

L ⟶ L^{'} := L + \frac{d F}{d t}

$L\longrightarrow L':= L+\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}$ no cambia las ecuaciones de Euler-Lagrange. Ahora, esto sucede porque la derivada del tiempo satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange de manera idéntica.

Consideremos un ejemplo concreto. Tome el Lagrangiano de un oscilador armónico simple:

L_{HO} = \frac{1}{2} metro {\dot{q}}^{2} - \frac{1}{2} metro ω^{2} q^{2}

$L_\text{HO}=\frac{1}{2}m\dot q^2-\frac{1}{2}m\omega^2q^2$ que da las ecuaciones de Euler-Lagrange

\ddot{q} = - ω^{2} q

$\ddot q=-\omega^2 q$ Ahora considere el Lagrangiano modificado

L^{'} = \frac{1}{2} metro {\dot{q}}^{2} - \frac{1}{2} metro ω^{2} q^{2} + \dot{q} = L_{HO} + \dot{q}

$L'=\frac{1}{2}m\dot q^2-\frac{1}{2}m\omega^2q^2+\dot q=L_\text{HO}+\dot q$ Las ecuaciones de Euler-Lagrange son obviamente lineales. De este modo

EL [L^{'}] = EL [L_{HO}] + EL [\dot{q}]

$\text{EL}[L']=\text{EL}[L_\text{HO}]+\text{EL}[\dot q]$ Como se mostró arriba,

\dot{q}

$\dot q$ La ecuación de Euler-Lagrange desaparecerá, pero podemos verificar esto:

EL [\dot{q}] := \frac{d}{d t} \frac{\partial \dot{q}}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial \dot{q}}{\partial q} = \frac{d 1}{d t} - 0 = 0

$\text{EL}[\dot q]:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \dot q}{\partial\dot q}-\frac{\partial\dot q}{\partial q}=\frac{\mathrm{d}1}{\mathrm{d}t}-0=0$ De este modo,

EL [L^{'}] = EL [L_{HO}]

$\text{EL}[L']=\text{EL}[L_\text{HO}]$ es decir, el Lagrangiano modificado todavía implica

\ddot{q} = - ω^{2} q

$\ddot q=-\omega^2q$ .

trevor kafka · Answer 2

Aquí hay otra forma de pensarlo, usando la versión del principio variacional de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

la acción de $L$ y $L'$ diferir por $\dot F$ .

S = \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L

$\mathcal S = \int^{t_f}_{t_i} dt\ L$

S^{'} = \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L^{'} = \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t (L + \dot{F}) = S + F (t_{F}) - F (t_{i})

$\mathcal S' = \int^{t_f}_{t_i} dt\ L' = \int^{t_f}_{t_i} dt\ (L+\dot F) = \mathcal S + F(t_f)-F(t_i)$

Desde $F(t_f)-F(t_i)$ es una constante, los caminos que se extreman $\mathcal S$ y $\mathcal S'$ son lo mismo.

Kuhlambo · Answer 3

Bueno, acabas de mostrar ${d \over dt } { \partial L' \over \partial \dot q}- { \partial L' \over \partial q}= {d \over dt } { \partial L \over \partial \dot q}- { \partial L \over \partial q}=0$ ¿bien? ${d \over dt } { \partial L \over \partial \dot q}- { \partial L \over \partial q}=0$ es la ecuación de movimiento para $q$ , en otras palabras, esta ecuación significa exactamente eso: $L$ y $L'$ dar la misma ecuación de movimiento para q.

Cristóbal · Answer 4

Si sigues algunos de los pasos de las derivaciones, te preguntarás cuál es la importancia de la derivada temporal de $F$ asuntos. Una de las ecuaciones presentadas en la pregunta, la que está debajo de donde dice "se demuestra que es cierto porque" es la clave. Esta ecuación dice:

$\frac{\partial \dot{F}}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial F}{\partial q}$ .

Esta ecuación dice, aunque no de manera obvia, que los dos últimos términos de la cuarta ecuación de la pregunta, en particular esta ecuación:

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}+\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}} \frac{d F}{d t}-\frac{\partial}{\partial q} \frac{d F}{d t}=0$ .

son de hecho iguales y por lo tanto se cancelan. Así que te quedas

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q} = 0$

A partir de ahí puedes obtener las ecuaciones de movimiento, tal como lo harías con $L'$ . Entonces $L'$ y $L$ dar las mismas ecuaciones de movimiento.

Pero para entender por qué la derivada temporal de $F$ es importante y no solo $F$ , comencemos con el tercer término que es $\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}} \frac{d F}{d t}$ y escríbelo como $\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \frac{d}{dt}{q}} \frac{\frac{d}{dt} F}{1}$ . Ahora puede ver que estamos tomando el parcial de la tasa de cambio de $F$ con respecto a la tasa de cambio de $q$ . Tampoco se indica en la pregunta, se requiere que $F$ es una función de $t$ y $q$ . Eso es $F=F(q,t)$

Entonces podemos volcar la parte de la tasa de cambio y simplemente mantener la derivada de $F$ bien $q$ y obten $\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial {q}} F$ , cual es $\frac{\partial}{\partial {q}} \frac{d F}{d t}$ que es lo mismo que el cuarto término y por lo tanto se anulan entre sí.

Sin el $d/dt$ delante de $F$ esto no hubiera funcionado. Entonces, sumando al Lagrangiano una derivada temporal total de una función de $q$ y $t$ no cambia las ecuaciones de movimiento

MUSAIB UL FAYAZ · Answer 5

Esto se puede calcular fácilmente como se ve en la imagen adjunta.

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usuario3728501

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