Problema en Euler-Lagrange implica Newton

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Problema en Euler-Lagrange implica Newton

Med Saâd Alami

Soy autodidacta de Mecánica y tengo un pequeño problema:

Podemos ver que en el libro de Landau o en Wikipedia que cuando inyectamos el lagrangiano en la ecuación de Euler Lagrange el término $\frac{\partial v²}{\partial q}$ desaparecer. Entonces obtenemos $\frac{\partial L}{\partial q}= - \frac{\partial U}{\partial q}$

aquí más detalles:

Queremos demostrar que la ecuación de Euler-Lagrange implica la ley de Newton:

La ecuación de Euler Lagrange establece que $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}$

Y $L= T-V(q)= \frac{1}{2}mv² - V(q)$

Pero si inyectamos L en la ecuación de Euler-Lagrange obtendremos

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\frac{dv}{dt} - \frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial \dot{q}}$

Y $\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{1}{2}m\frac{\partial v²}{\partial q} + F$

En el libro de Landau los términos $\frac{\partial V}{\partial \dot{q}}$ y $\frac{1}{2}m\frac{\partial v²}{\partial q}$ Desaparecer sin ninguna explicación

¿Por qué desaparecen estos términos?

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/885/2451 , physics.stackexchange.com/q/11497/2451 , physics.stackexchange.com/q/123167/2451 y sus enlaces.

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Problema en Euler-Lagrange implica Newton

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/885/2451 , physics.stackexchange.com/q/11497/2451 , physics.stackexchange.com/q/123167/2451 y sus enlaces.

Alguien · Answer 1

Alguien

El primer término desaparece porque ha supuesto que el potencial es independiente de $\dot{q}=v$ (como has dicho, $V(q)$ ). El segundo término desaparece porque la velocidad y la posición son independientes.

Med Saâd Alami

Pero supongamos, por ejemplo, que tratamos con un péndulo simple. Si la resolvemos de la ED, obtenemos:

θ = a c o s (w t + φ)

$\theta = acos(wt+\varphi )$ , por lo que podemos encontrar una función f tal que:

t = f (θ)

$t = f(\theta )$ y

\frac{d θ}{d t} = - a w s i n (w t + φ)

$\frac{d\theta }{dt}= - awsin(wt+\varphi )$ De este modo

\dot{θ} = - a w s i n (w f (θ) + φ)

$\dot{\theta}= - awsin(wf(\theta)+\varphi )$ y así tendremos

\frac{\partial L}{\partial θ} = \frac{1}{2} m l \frac{\partial \dot{θ ²}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial θ} - m g l s i n (θ)

$\frac{\partial L }{\partial \theta} = \frac{1}{2}ml\frac{\partial \dot{\theta²} }{\partial f}\frac{\partial f}{\partial \theta} -mglsin(\theta)$ . Entonces, ¿por qué el término

\frac{1}{2} m l \frac{\partial \dot{θ ²}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial θ}

$\frac{1}{2}ml\frac{\partial \dot{\theta²} }{\partial f}\frac{\partial f}{\partial \theta}$ desaparecer?

usuario12029

Las ecuaciones de @MedSaâdAlami Newton se escriben específicamente como

m \ddot{x} = - U^{'} (x)

$m\ddot{x}=-U'(x)$ , dónde

x

$x$ es una coordenada en su sistema euclidiano. Si quieres probar las ecuaciones de Newton, entonces, será mejor que elijas escribir

L

$L$ primero en términos de coordenadas euclidianas. (¡El péndulo agrega un grado adicional de complicación, por lo tanto, porque ahora hay una fuerza de restricción cuando regresa a las coordenadas euclidianas!)

usuario12029

@MedSaâdAlami, así que ciertamente ese término no desaparece. Pero, si desapareciera, ¿qué te daría eso? (También,

θ = a \cos (ω t)

$\theta=a \cos(\omega t)$ no resuelve el problema del péndulo simple, resuelve el problema del oscilador armónico simple). Como referencia, creo que la prueba de las leyes de Newton a partir del principio de acción mínima se da en L&L como ecuación 5.3. Es tan simple porque el primer paso en esto sería escribir

L

$L$ en la forma 5.1.

hiloamc · Answer 2

El Lagrangiano se define en el caso más simple como una función de $q$ , $\dot{q}$ y $t$ : $L(q,\dot{q},t)$ . Esta notación implica que $q$ , $\dot{q}$ y $t$ son por definición variables independientes. Así es como tienes que interpretar las derivadas parciales para $q$ y $\dot{q}$ , no tiene sentido escribir: $q = f(\dot{q})$ , porque ambas se consideran variables independientes en el lagrangiano. Es solo una función de tres variables, por lo que $\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}}$ es matemáticamente lo mismo que $\frac{\partial L(x,y,t)}{\partial y}$ donde reemplazamos $q$ por $x$ y $\dot{q}$ por $y$ : es la derivada a la segunda variable de la función.

Por supuesto, cuando resuelves el problema y encuentras un $q(t)$ puedes encontrar una relación para esta solución entre $q$ y $\dot{q}$ : $q = f(\dot{q})$ , pero esto no altera el hecho de que debes considerar las variables del $L$ anterior como independiente, esta solución no tiene nada que ver con las variables independientes del lagrangiano.

Entonces, al usar la fórmula de Lagrange:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L (q, \dot{q}, t)}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L (q, \dot{q}, t)}{\partial q}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial q}$ la idea es que para las derivadas parciales solo mires

q

$q$ y

\dot{q}

$\dot{q}$ como variables independientes, dejando de lado las posibles soluciones que pueda tener en mente. El cálculo de estas derivadas dará como resultado nuevas funciones de

q

$q$ ,

\dot{q}

$\dot{q}$ y

t

$t$ , fi:

F (q, \dot{q}, t) = \frac{\partial L (q, \dot{q}, t)}{\partial \dot{q}}

$F(q,\dot{q},t) =\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}}$ . Entonces tienes que calcular una derivada total para

t

$t$ de

F

$F$ : para hacer esto tienes que sustituir una posible solución

q (t)

$q(t)$ , es decir

F \circ q = F (q (t), \dot{q} (t), t) = G (t)

$F \circ q = F(q(t),\dot{q} (t),t) = G(t)$ , el resultado es una función de sólo

t

$t$ , solo al calcular esta derivada total puedes usar la dependencia entre

q

$q$ y

\dot{q}

$\dot{q}$ porque hay que insertar una posible solución.

alfredo centauro · Answer 3

¿Por qué desaparecen estos términos?

Si

L = \frac{metro v^{2}}{2} - V (q) = \frac{metro (\dot{q})^{2}}{2} - V (q)

$L = \frac{mv^2}{2} - V(q) = \frac{m(\dot q)^2}{2} - V(q)$

Entonces

\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = metro \dot{q}

$\frac{\partial L}{\partial \dot q} = m \dot q$

¿Por qué? Porque $V(q)$ es una función de $q$ por tanto la derivada parcial de $V$ con respecto a $\dot q$ es cero

Similarmente

\frac{\partial L}{\partial q} = - \frac{\partial V}{\partial q}

$\frac{\partial L}{\partial q} = -\frac{\partial V}{\partial q}$

¿Por qué? Porque $\frac{m(\dot q)^2}{2}$ es una función de $\dot q$ por tanto la derivada parcial de $\frac{m(\dot q)^2}{2}$ con respecto a $q$ es cero

Ok, entendí eso... pero la pregunta no es tan simple como crees: ¿Por qué? $q$ y $\dot{q}$ hay que ser independiente?
@MedSaâdAlami, no son independientes pero, como escribí y enfaticé, son derivados parciales .
Entonces, si no son independientes, podemos escribir, por ejemplo. $q=f(\dot{q})$ y tendremos $\frac{\partial V(q)}{\partial \dot{q}}= \frac{\partial V(f(\dot{q}))}{\partial q} = \frac{\partial V(f(\dot{q}))}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial \dot{q}}$ ... Entonces ? como concluir (Creo que hay algo sobre cálculo que no entiendo)

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hiloamc

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