Mi esperanza es desarrollar personalmente una mayor intuición para tomar una integral (medir el área bajo una curva). Considere una distribución normal y necesito el área bajo la curva de a . Sé por cálculo que la respuesta está dada por:
El instructor de mi clase luego dibuja una curva normal, indica y en el eje horizontal (recta numérica) y dibuja una línea hacia arriba desde cada punto a la función de densidad, conecta los dos puntos de cruce y mostrando un cuadrado nos pregunta, "¿Cómo obtenemos el área de un cuadrado?" (Respuesta: base por altura.)
Luego se muestra que el área del cuadrado subestima el área bajo la curva y luego, para obtener una mejor aproximación, los cuadrados se vuelven a dibujar como dos rectángulos y luego cuatro rectángulos y luego ocho rectángulos y este proceso muestra que el área del (más pequeño y ancho más pequeño) los rectángulos se aproximan cada vez mejor al área bajo la curva.
A continuación, el instructor dijo que el " " parte se puede considerar como la altura del rectángulo y el " " parte puede pensarse como la base (ancho) del rectángulo y queremos que la base sea realmente pequeña, de hecho, infinitamente pequeña. El instructor luego dice algo como, "Tomando una integral o midiendo el área bajo una curva es como sumar las áreas de rectángulos con un ancho infinitamente pequeño".
Mis preguntas:
¿Existen otras explicaciones intuitivas de lo que sucede cuando tomamos una integral y nos las proporcionaría por favor?
¿Cómo explicaría un matemático puro una integral?
¿Serían las explicaciones (intuitivas y matemáticas) totalmente consistentes?
Se agradecerían múltiples explicaciones o puntos de vista.
Hay diferentes formas de definir integrales con nombres de diferentes personas. Lo que tu maestro describió es una explicación informal de la integral de Riemann . Puede ver una construcción rigurosa debajo del enlace, pero equivale a subdividir el intervalo de integración en subintervalos de longitudes cada vez más pequeñas y reemplazar el área debajo del gráfico con la suma de las áreas de los rectángulos. Las alturas de los rectángulos son iguales a los valores de la función en algún punto del subintervalo, las sumas se llaman sumas de Riemann. Si a medida que los tamaños de los subintervalos se vuelven uniformemente más pequeños, existe un límite de las sumas de Riemann, entonces la función se llama integrable de Riemann.
Esto funciona bien para funciones continuas y otras, pero no para funciones ilimitadas porque entonces puedes hacer que algunos rectángulos tengan áreas arbitrariamente grandes. Para tales casos se utiliza una noción más general de integral de Lebesgue . Es mucho más complicado, pero aproximadamente en lugar de subdividir el intervalo de integración, está subdividiendo el rango de la función integrada en pequeños subintervalos, y luego suma áreas de "rectángulos" con bases siendo conjuntos donde la función toma valores de ellos. Si el límite existe se llama integral de Lebesgue, y la función se llama integrable de Lebesgue. Toda función integrable de Riemann es integrable de Lebesgue, pero no viceversa. Además, los conjuntos básicos involucrados pueden ser muy complicados, y toda una teoría de la medida de Lebesguetiene que ser desarrollado primero para averiguar sus "longitudes".
Otra forma de definir la integral, llamada integral de Daniell , es aproximar las funciones generales mediante algunas funciones "elementales", cuyas integrales son fáciles de calcular como con las funciones escalonadas , o ya están definidas por alguna otra construcción, la de Riemann, por ejemplo. La integral se define como el límite de integrales de funciones "elementales" de aproximación. La integral de Daniell es equivalente a la integral de Lebesgue en el sentido de que las mismas funciones son integrables y los valores de las integrales son los mismos. Pero no requiere desarrollar la teoría de la medida por adelantado. Hay una versión más débil pero más simple de la integral de Daniell llamada integral regulada .
También hay otras construcciones más complicadas como la integral de Henstock-Kurzweil , que es incluso más general que la integral de Lebesgue, la integral de Darboux , etc., pero son variaciones de las tres ideas descritas anteriormente.
Una intuición (quizás idiosincrásica) que tengo sobre la integración proviene del movimiento. Supongamos que sabemos qué tan rápido va alguien en un rango de tiempos; en ese caso podemos calcular hasta dónde llegaron . Intuitivamente, podría decir que toma muchas estimaciones de la velocidad distancia en diferentes momentos y sumarlos. Pero matemáticamente lo que estás haciendo es integrar la velocidad para obtener la distancia.
También se podría ir en el otro sentido: si la velocidad misma está cambiando, entonces podemos usar la aceleración (la tasa de cambio de la velocidad) para encontrar cuánto cambia la velocidad en un intervalo de tiempo dado.
La forma en que me gusta explicar esto a la introducción. Estudiantes de física: El cálculo integral es una máquina para convertir información de tiempos anteriores (dónde estaban, qué tan rápido se movían) en información de tiempos futuros. Toma la aceleración y escupe la velocidad y la posición.
usuario117644