Intuición para S-dualidad

En primer lugar, ¿cuál es la motivación de la acción de Yang-Mills y cómo debo entender las constantes de acoplamiento?$\theta$y$g$?

Yo diría que la motivación proviene de los experimentos. Por ejemplo, es un hecho experimental que la carga eléctrica se conserva. La corriente asociada también se conserva, en el sentido de

$$\partial_\mu J^\mu=0.$$ Por lo tanto, podemos escribir esta corriente como el rotacional de un potencial vectorial $A^\mu$. Dado que el rizo del graduado desaparece, hay una redundancia. $$A^\mu(x)\rightarrow A^\mu(x)-\partial_\mu\Lambda(x),$$ dando la misma corriente medida. Esta redundancia se llama simetría de calibre y en el presente caso es simplemente $U(1)$. Sucede que para algunas interacciones fundamentales hay más potenciales vectoriales, más cargas y terminamos con una simetría de calibre basada en un grupo no abeliano. Esta es una teoría de Yang-Mills. Por ejemplo, la Cromodinámica Cuántica, que describe la interacción fuerte y se basa en la $SU(3)$simetría de color

Los campos clásicos de la teoría deben ser soluciones de ecuaciones de movimientos que se obtienen de la acción, según el Principio de Hamilton. Los campos cuánticos también requieren una acción para cuantificarlos utilizando el método de la integral de trayectoria. Al construir la acción, debe mostrar cómo interactúan los campos. La fuerza de estas interacciones viene dada por la magnitud de las constantes de acoplamiento, que es una entrada experimental.

¿Cómo puedo obtener esta supuesta expansión en serie de potencia con variables?$\tau$de la amplitud de probabilidad?

Pasar de una teoría cuántica de campos que no interactúan a una que interactúa es, en el mismo sentido, similar a pasar de un oscilador armónico a uno anarmónico. Por ejemplo, agrega un término cuartico en el potencial, para ambos casos. Luego resuelve la ecuación de movimiento del oscilador o las amplitudes de probabilidad para los campos usando la teoría de la perturbación. Las probabilidades en la teoría cuántica se pueden obtener a partir de algo llamado generación funcional, que implica la exponencial de la acción. La expansión perturbativa aquí significa expandir este exponencial en poderes cualquiera de$\hbar$o de las constantes de acoplamiento.

¿Cuál fue la motivación para empezar a mirar esta dualidad? Una creación de un definido en todas partes (en$\tau$) teoría de calibre, tal vez?

Un poco de contexto: Se observó desde los años 70 que algunas teorías de gauge no abelianas admiten soluciones con carga magnética estable. Luego, Montonem y Olive y Goddard, Nuyts y Olive, notaron que podían mapear el espectro de masas de las cargas eléctricas de una teoría particular al espectro de masas de las cargas magnéticas de otra teoría (llamada dual), siempre que asuman un mapa particular entre los acoplamientos de estas teorías. Conjeturaron que estas teorías son electromagnéticas duales. Esta es una generalización no abeliana de la dualidad electromagnética en la teoría de Maxwell. Un ejemplo particular donde se conjetura esta dualidad es entre dos "copias" del modelo Georgi-Glashow:$SO(3)\rightarrow SO(2)$con el Higgs en el adjunto.

$SL(2,\mathbb Z)$dualidad: Witten demostró que la adición de un término topológico ($\theta$-término) al modelo de Georgi-Glashow da el espectro de cargas eléctricas

$$q_e=e\left(n_e+\frac{\theta}{2\pi}n_m\right),\quad n_e,n_m\in\mathbb Z,$$

Esta teoría también admite diones, partículas con la carga eléctrica anterior y también con carga magnética.

$$q_m=\frac{4\pi}{e}n_m.$$ Entonces si definimos $$\tau=\frac{\theta}{2\pi}+\frac{4\pi i}{e^2},$$ la carga del dyon se puede escribir como $$\mathcal Q = q_e+iq_m=e(n_e+\tau n_m).$$

El espectro de la teoría pertenece entonces a una red cuyos vértices dan las cargas$(n_m,n_e)$. Las masas de los dyons (de una teoría con acoplamiento$\tau$) están dadas por

$$M(n_e,n_m;\tau)=ve|n_e+n_m|=ve \left| \left(\begin{array}{cc} n_m&n_e \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \sqrt u\tau\\ \sqrt u \end{array}\right) \right|,$$ dónde $\sqrt u\equiv ev$y $v$es el vev de Higgs. Para que ocurra una dualidad, debe haber un mapeo entre el espectro de masas de dos teorías, es decir $$\begin{equation}\label{sl6} \left| \left(\begin{array}{cc} n_m&n_e \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \sqrt u\tau\\ \sqrt u \end{array}\right) \right| = \left| \left(\begin{array}{cc} n'_m&n'_e \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \sqrt{u'}\tau'\\ \sqrt{u'} \end{array}\right) \right|. \end{equation}$$ Una posible solución es $$\begin{align*} \left(\begin{array}{c} \sqrt{u'}\tau'\\ \sqrt{u'} \end{array}\right) &=e^{i\varphi}\mathcal M \left(\begin{array}{c} \sqrt u\tau\\ \sqrt u \end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{cc} n'_m&n'_e \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cc} n_m&n_e \end{array}\right)\mathcal M^{-1}, \end{align*}$$ con $\varphi\in\mathbb R$y $$\mathcal M= \left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right), \quad \det \mathcal M= 1, \quad A,B,C,D\in\mathbb Z.$$ Por eso $$\mathcal M\in SL(2,\mathbb Z).$$ El grupo $SL(2,\mathbb Z)$tiene dos generadores $$T= \left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array} \right), \quad S= \left( \begin{array}{cr} 0&-1\\ 1&0 \end{array} \right).$$

Las transformaciones de dualidad generadas por$T$y$S$son llamados$T$-dualidad y$S$-dualidad, respectivamente. Como puedes ver desde el$S$generador, el$S$-la dualidad invierte la constante de acoplamiento,

$$S:\tau\rightarrow-\frac 1\tau,$$ es decir, es una dualidad que relaciona un acoplamiento fuerte con un acoplamiento débil. Por otra parte $T$actúa como $$T:\tau\rightarrow\tau+1,$$ que representa una invariancia con respecto a $\theta\rightarrow\theta+2\pi$.

Es importante notar que una posible dualidad electromagnética está dada solo por un subgrupo de$SL(2,\mathbb Z)$porque es necesario considerar otro número cuántico de las partículas.

La importancia de la$S$-La dualidad está en el hecho de que puedes usar los resultados obtenidos en una teoría con acoplamiento débil (donde la teoría de la perturbación es válida) en la teoría dual que tiene un acoplamiento fuerte (y la teoría de la perturbación no es válida).