¿Por qué la variación SUSY infinitesimal es generada por la suma de un generador quiral izquierdo y derecho?

Una parte del álgebra de supersimetría es

$$\{Q_a,~{\bar Q}_{\dot b}\}~=~-2i\sigma^\mu_{a\dot b}\partial_\mu$$ que es un operador de cantidad de movimiento $p_\mu~=~-i\partial_\mu$. El álgebra de mentira graduada $g~=~h~+~k$ $$[h,~h]~\subset~h,~[h,~k]~\subset~k,~\{k,~k\}~\subset~h,$$ donde el último de estos contiene el anticonmutador anterior. Este modelo tiene simetría quiral. Entonces significa que los generadores de mano derecha e izquierda actúan sobre un campo escalar y de Dirac. $$\delta_\epsilon\phi~=~(\epsilon Q~+~\bar\epsilon\bar Q)\phi~=~\epsilon\bar\psi~+~\bar\epsilon\psi$$ $$\delta_\epsilon\psi~=~\epsilon\gamma\cdot\partial\phi~+~\bar\epsilon\gamma\cdot\partial\bar\phi.$$ Este es el modelo SUSY estándar.

El modelo de Wess-Zumino se presenta como un campo pseudoescalar$\eta$y el modelo se toma como quiral de mano izquierda o derecha que se agrega al campo de Dirac bajo las transformaciones SUSY

$$\delta_\epsilon\phi~=~\bar\epsilon\bar Q\phi~=~\epsilon\bar\psi$$ $$\delta\eta~=~\bar\epsilon\gamma_5\psi$$ $$\delta_\epsilon\psi~=~\epsilon(\gamma\cdot\partial\phi~+~\gamma_5\eta).$$ Los generadores de transformación son Majorana, y el campo $\psi$es un fermión de Majorana. El fermión de Majorana es su propia antipartícula. La conjugación de carga de $\psi$es $C\psi~=~i\psi^*$. La apariencia de $\psi$y $C\psi$en el lagrangiano significa que el campo de Majorana debe ser eléctricamente neutro para conservar la carga. Esta sería entonces una partícula como el neutrino. Podemos con el operador de conjugación de carga transformar $C\epsilon~=~\epsilon^*$ $=~\gamma^0\bar\epsilon$y de manera similar $CQ~=~Q^*$ $=~\gamma^0\bar Q$y como tal podemos definir las dos supertransformaciones por separado de esta manera.

En cuanto a los conmutadores, tal vez tenga un pequeño problema con la parte inferior derecha. Los elementos$\chi_a$están contenidos en$k$con$\{k,~k\}~\subset~h$y entonces esto creo que debería ser un anticonmutador que es

$$\{{\bar Q}_{\dot a},~\chi_b\}~=~{\bar Q}_{\dot a}\chi_b~+~\chi_b{\bar Q}_{\dot a}$$ $$\propto~{\bar Q}_{\dot a}Q_b\phi ~-~{\bar Q}_{\dot a}\phi Q_b~+~\phi Q_b{\bar Q}_{\dot a}~-~Q_b\phi {\bar Q}_{\dot a}.$$ Para $\phi$un campo escalar que se transforma por los supergeneradores debemos tener cuidado de conmutar este pasado los supergeneradores $$\{{\bar Q}_{\dot a},~\chi_b\}~=~\{{\bar Q}_{\dot a},~Q_b\}\phi~-~({\bar Q}_{\dot a}\phi) Q_b~+~(Q_b\phi){\bar Q}_{\dot a}.$$ $$=~-2i\sigma^\mu_{\dot a b}\partial_\mu\phi~+~\bar\psi_{\dot a} Q_b~+~\psi_b\bar Q_{\dot a}.$$ Las dos últimas expresiones en la primera línea de arriba tienen paréntesis que indican que el supergenerador solo actúa en el campo. $\phi$. Ahora $\bar\psi_{\dot a} Q_b~=~\overline{\psi_a\bar Q_{\dot b}}$y con el fermión valorado de Majorana definido $C\psi~=~i\gamma^0\bar\psi$y de igual manera para los generadores la ocurrencia de $i^2~=~-1$significa que los dos últimos términos se restan.

Hay que recordar que con$i\sigma^\mu_{\dot a b}\partial_\mu\phi$esto de hecho opera en ambos$\phi$y cualquier otro campo u onda

$$i\sigma^\mu_{\dot a b}\partial_\mu(\phi\chi)~=~i\sigma^\mu_{\dot a b}\left((\partial_\mu\phi)\chi~+~\phi\partial_\mu\chi\right)$$ y que este es un operador que actúa sobre campos.

Ok, creo que me di cuenta de las cosas por mí mismo. Seguiré las convenciones de Wess & Bagger.

Si uno quiere construir un libre,$\mathcal N=1$teoría SUSY con un escalar complejo y un Weyl Fermion, entonces las posibles transformaciones vienen dictadas por la teoría de la representación del grupo de Lorentz, dimensionalidades, y el requisito de que tengamos una teoría libre y se obtiene:

$$[Q_\alpha, \phi] = c_0 \chi_\alpha \qquad [Q_\alpha, \phi^*] = c_1 \chi_\alpha \\ \{Q_\alpha,\chi_\beta \} = 0 \qquad \{Q_\alpha,\overline{\chi}_{\dot \beta} \} = c_3 \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \partial_\mu \phi + c_4 \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \partial_\mu \phi^*$$ más los conjugados hermitianos de estas relaciones de (anti-)conmutación. El cierre del álgebra SUSY luego impone restricciones a los coeficientes$c_i$que por ejemplo puede ser resuelto por: $$c_0 = \sqrt{2}, \qquad c_4 = i \sqrt 2.$$ Las transformaciones distintas de cero son $$[Q_\alpha, \phi] = \sqrt{2} \phi_\alpha \qquad [\overline Q_{\dot \alpha}, \phi^*] = \sqrt{2} \overline \chi_{\dot \alpha} \\ \{Q_\alpha,\overline{\chi}_{\dot \beta} \} = i \sqrt{2} \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \partial_\mu \phi^* \qquad \{\overline Q_{\dot \alpha},\chi_\beta \} = i \sqrt{2} \sigma^\mu_{\beta \dot \alpha} \partial_\mu \phi$$ El punto es que actuar sobre el Lagrangiano con cualquiera de los generadores deja el Lagrangiano invariante, entonces @ mi segunda pregunta, sí, es posible definir los conmutadores en la forma en que escribí en la pregunta.

Esto no explica del todo por qué la variación se define de la forma en que se hace. El único argumento que tengo en este momento (que me hace bastante feliz) es que:

1. Es posible, porque la variación debida a los generadores quirales izquierdo y derecho no se mezcla.
2. El generador de la variación es hermitiano.