¿Alguien puede dar una exposición simple sobre el teorema de Coleman Mandula y qué son las variables de Mandelstam?

Variables de Mandelstam$s,t,u$son cantidades con unidades de momento (o masa) al cuadrado que describen la parte invariante de Lorentz de la información sobre los momentos y la energía en$2\to 2$procesos de dispersión:

$$s= (p_1+p_2)^2, \quad t=(p_1-p_3)^2,\quad u=(p_1-p_4)^2$$ Si Lorentz transforma los momentos entrantes $p_1,p_2$así como los salientes $p_3,p_4$, las cantidades anteriores no cambian. Entonces, por relatividad, toda la información no trivial sobre la colisión está codificada en funciones de $s,t,u$. Es más, $s+t+u=4m^2$si las masas de las cuatro partículas son iguales a $m$; esto se generaliza fácilmente si son diferentes. Las variables de Mandelstam también se pueden generalizar fácilmente al caso de más de 4 líneas externas; en ese caso, hay más variables. Entonces, las variables de Mandelstam son algo simple, dadas por las fórmulas anteriores.

Teorema de Coleman-Mandula

El teorema de Coleman-Mandula muestra que las teorías con grupos de simetría (bosónica) que mezclan las partes espacial (geométrica) e interna, es decir, no tienen la forma$G_{spacetime}\times G_{internal}$, las interacciones esencialmente desaparecen, por lo que tales teorías no se pueden utilizar para ningún modelo realista. Entonces, por ejemplo, si alguien planteó la hipótesis de que un$E_8$Si la simetría puede incluir tanto las rotaciones en el espacio como el grupo de calibre del modelo estándar, el teorema descartaría instantáneamente su hipótesis.

En cuanto a la demostración, creo que toman la excitación escalar más ligera de la teoría dada, dos o varias, y las dispersan. Las simetrías adicionales, además de la energía y el momento, etc., inevitablemente significarán que algunos tensores también deben conservarse en una colisión. Debido a que estos tensores solo pueden depender de los momentos de las partículas que dispersamos y tienen demasiados componentes que deben permanecer sin cambios, pueden mostrar que los momentos después de la dispersión deben ser esencialmente iguales a los de antes de la dispersión. Esto ya significa que las interacciones desaparecen universalmente.

El teorema asume que las cantidades conservadas no pueden ser espinores, con espín semiintegral. Cuando se permiten cantidades conservadas fermiónicas con espín medio entero (supersimetrías), se descubre que es posible eludir el teorema original, en teorías con supersimetría, porque los espinores conservados no son demasiado restrictivos. Uno obtiene teorías supersimétricas pero sus posibilidades todavía están restringidas por una extensión supersimétrica del teorema de Coleman-Mandula, el teorema de Haag-Lopuszanski-Sohnius.

Saludos LM

Esto es un poco un boceto;

los$S$-matriz actua sobre el cambio de estado o estado de momento de una particula. Un estado con dos estados de partículas$|p, p’\rangle$es actuado por el$S$matriz a través de la$T$matriz

$$S~=~1~–~i(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)T$$ De modo que $T|p, p’\rangle\ne0$. Para masa cero, las ondas planas se dispersan con casi toda la energía. El espacio de Hilbert es entonces un producto infinito de subespacios de n partículas $H~=~\otimes_nH^n$. Como en todos los espacios de Hilbert, existe un operador unitario $U$, con frecuencia $U~=~exp(iHt)$, que transforma los estados sobre los que actúa S. $U$transforma estados de n-partículas en estados de n-partículas como productos tensoriales. El operador unitario conmuta con el $S$matriz $$SUS^{-1}~=~[1 – i(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)T]U[1~+~i(2π)^4 \delta^4(p~–~p’)T^\dagger]$$ $$= U~+~i(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)[TU~–~UT^\dagger] ~+~[(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)]^2(TUT^\dagger).$$ Por propiedades hermitianas y unitaridad, no es difícil mostrar que los dos últimos términos son cero y que la matriz S conmuta con la matriz unitaria. El grupo de Lorentz luego define el operador $p_\mu$y $M_{\mu\nu}$para aumentos de impulso y rotaciones. los $S$-matriz define los cambios en los estados propios de momento, mientras que el operador unitario es generado por una simetría interna $A_a$, donde el índice a está dentro de algún espacio interno (el círculo en el plano complejo por ejemplo, y entonces tenemos con algún $$[A_a,~p_\mu]~=~[A_a,~M_{\mu\nu}]~=~0.$$ Este es un bosquejo del infame teorema de "no-go" de Coleman y Mundula. Esto es lo que impide que se puedan poner en pie de igualdad generadores o simetrías internas y externas.

La forma de evitar este problema es la supersimetría. Los generadores del supergrupo, o un álgebra de Lie graduada, tienen 1/2 elementos de grupo conmutador$[A_a,~A_b]~=~C_{ab}^cA_c$($C_{ab}^c$= constante de estructura de algún álgebra de Lie), más otro conjunto de operadores graduados que obedecen

$$\{{\bar Q}_a, Q_b\}~=~\gamma^\mu_{ab}p_\mu,$$ lo cual, si uno desarrolla el álgebra SUSY, encuentra que esta es una laguna que permite el entrelazamiento de simetrías internas y generadores de espacio-tiempo. Se podría pensar que el anticonmutador anterior dice que el operador de momento, como un operador de límite $p_\mu~= -i\hbar\partial_\mu$que tiene una cohomología, donde resulta de la aplicación de un operador de Fermi-Dirac $Q_a$. Los estados de Fermi-Dirac son tales que solo una partícula puede ocupar un estado, que tiene el contenido topológico de $d^2~=~0$. Esta cohomología es la base para la cuantificación BRST.

Para una referencia de libro de texto sobre el teorema de Coleman-Mandula, lo que necesita es la tercera obra de QFT de Weinberg . La prueba completa, con todos los detalles (incluso los que se dejan al lector en el artículo original) se encuentran en el apéndice B (página 12 a 22). La prueba se basa solo en el principio muy general de la mecánica cuántica relativista como se establece en su capítulo 2 y 3 (en la primera obra), sin necesidad de una QFT local.

Pero eso no es todo. Antes de su prueba completa, Weinberg da una prueba más simple (pero solo parcial) en la sección 24.1 (páginas 1 a 4), que es suficiente para ver claramente el lugar donde la relatividad hace toda la diferencia .

EDITAR (después del comentario justo de kyle): hagamos un bosquejo de la prueba cinemática de weinberg de una parte del teorema.

deje que todos los generadores de simetría que conmutan con el 4-momentum$p_m$formar un álgebra de mentira atravesada por los generadores$B_a$. Sea una transformación de Lorentz ($L$), representado en el espacio de hilbert por el operador unitario$U(L)$, actuar sobre$B_a$.

$U(L)B_aU^{-1}(L)$viaja con${L_m}^n p_n$y así con$p_m$. por lo tanto, se puede escribir tiene una combinación lineal de$B_a$:

$$U(L)B_aU^{-1}(L) = \sum {D_a}^b(L)B_b$$

que puede demostrarse que satisface las mismas relaciones de conmutación que$B_a$. usando esto y la conmutación de todos los generadores con$p_m$, y bajo el supuesto de que los generadores de simetría distintos de$p_m$abarcan un álgebra de mentiras semi-simple compacta (indicada como$B_A$), se puede construir a partir de los coeficientes${D_a}^b$, una representación unitaria de dimensión finita del grupo de lorentz. pero, debido a que el grupo de lorentz no es compacto, la única representación de este tipo es la trivial. por lo tanto$B_A$viaja con$U(L)$.

finalmente, porque el$B_A$viajar con$p_m$, su acción sobre el estado$|p,n\rangle$de una sola partícula con momento$p_m$y spin/especies$n$sólo puede producir una combinación lineal:

$$B_A |p,n\rangle = \sum b_A |p,m\rangle$$

el hecho de que$B_A$viajes diarios con impulsos implica que$b_A$es independiente de la cantidad de movimiento, y el hecho de que conmuta con las rotaciones implica que$b_A$actúan como matrices unitarias en los índices de espín, por lo que$B_A$son los generadores de una simetría interna ordinaria, como se iba a probar.