Ultrafiltros no principales sobre NN\mathbb{N}

Entonces, me dan$\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(\mathbb{N})$que tiene la propiedad de que para cualquier$\mathcal{A}_0\subseteq \mathcal{A}$finito,$\cap\mathcal{A}_0$es infinito. Tengo que demostrar que existe un ultrafiltro no principal$\mathcal{U}$encima$\mathbb{N}$tal que$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{U}$. Esto es lo que he hecho: Let

afirmo que$D$no está vacío, de hecho, si dejo$S=\{\cap\mathcal{A}_0|\mathcal{A}_0\subseteq\mathcal{A}\text{ is finite}\}$entonces$T=\mathcal{A}\cup S\cup \{S'|S''\subseteq S' \text{ for some } S''\in S\}\in D$

Ahora deja$\mathcal{F}_1\subseteq\mathcal{F}_2\subseteq ...$ser cualquier cadena de elementos en$D$. Desde cada uno$F_i$es un filtro entonces$\cup\mathcal{F}_i\in D$es un límite superior para la cadena. En consecuencia, puedo usar el Lema de Zorn para garantizar que existe un elemento maximal para el conjunto$D$que llamaremos$\mathcal{V}$. Ahora, está claro que,$\mathcal{V}$no es sólo un elemento máximo de$D$pero también es un elemento máximo del conjunto de filtros sobre$\mathbb{N}$. Por lo tanto,$\mathcal{V}$es un ultrafiltro que contiene$\mathcal{A}$, por lo que solo queda demostrar que$\mathcal{V}$es no principal. Aquí es donde tengo problemas, estaba tratando de asumir que$\mathcal{V}$era principal para lograr una contradicción con el hecho de que para cualquier$\mathcal{A}_0\subseteq \mathcal{A}$finito,$\cap\mathcal{A}_0$es infinito, pero no tuve éxito. ¿Me puede ayudar con esto? Además, ¿es correcta esta primera parte de la prueba? gracias de antemano