Argumentos del "análisis dimensional" en la teoría cuántica de campos

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Argumentos del "análisis dimensional" en la teoría cuántica de campos

Física
regularización
renormalización
análisis dimensional
teoría cuántica de campos

knzhou

No me siento cómodo con los argumentos de análisis dimensional de la teoría cuántica de campos, en particular los relacionados con la renormalización. Por ejemplo, en la sección III.2 del libro QFT de Zee, dice:

Considere la teoría de Fermi de la interacción débil. Imagina calcular la amplitud $\mathcal{M}$ para una interacción de cuatro fermiones. En el orden más bajo, $\mathcal{M} \sim G$ . Tratemos de escribir la amplitud al siguiente orden. [...] Por análisis dimensional, la única posibilidad es
$METRO \sim GRAMO + {GRAMO}^{2} Λ^{2} .$ $\mathcal{M} \sim G + G^2 \Lambda^2.$ Sin un corte en la teoría, o de manera equivalente con $\Lambda = \infty$ , los teóricos se dieron cuenta de que la teoría estaba enferma: el infinito era el valor predicho de una cantidad física. Se decía que la teoría de la interacción débil de Fermi no era renormalizable.

Esto ya es confuso, porque las divergencias UV también ocurren en teorías renormalizables. También es confuso por qué la escala de energía $E$ del proceso no puede aparecer. Luego, una página más adelante, dice:

Aquí hay otra manera de hacer el mismo punto. Supongamos que no supiéramos nada sobre cortes y todo eso. Luego, mediante el análisis dimensional de la escuela secundaria, vemos que la amplitud de dispersión en el centro de energía de masa $E$ tiene que ir como
$METRO \sim GRAMO + {GRAMO}^{2} {mi}^{2} + \dots .$ $\mathcal{M} \sim G + G^2 E^2 + \ldots.$ Cuando $E$ alcanza la escala $(1/G)^{1/2}$ la amplitud alcanza el orden de la unidad y alguna nueva física debe hacerse cargo.

Estos dos pasajes parecen abiertamente contradictorios; no acabamos de decir $E$ no estaba permitido en el análisis dimensional? ¿Cómo desapareció el límite, cuando en realidad debería seguir ahí?

En general siempre parece haber tres escalas dimensionales, $G$ , $E$ , y $\Lambda$ . ¿Cuál es la forma correcta de hacer un argumento de análisis dimensional usándolos y por qué los dos pasajes anteriores no son inconsistentes?

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Mis dos centavos: en el primer caso asumes que la teoría es unitaria, entonces

M

$\mathcal M$ tiene que ser acotado como una función de

E

$E$ . No puede crecer cuadráticamente, por lo que la única forma de hacer que las dimensiones funcionen es usar

f (E / m) G^{2} Λ^{2}

$f(E/m)G^2\Lambda^2$ , con

f

$f$ una constante adimensional. En el segundo caso, te olvidas de la unitaridad y procedes de forma más ingenua. Aunque no estoy seguro de que esto tenga mucho sentido.

Respuestas (3)

Argumentos del "análisis dimensional" en la teoría cuántica de campos

Mis dos centavos: en el primer caso asumes que la teoría es unitaria, entonces $\mathcal M$ tiene que ser acotado como una función de $E$ . No puede crecer cuadráticamente, por lo que la única forma de hacer que las dimensiones funcionen es usar $f(E/m)G^2\Lambda^2$ , con $f$ una constante adimensional. En el segundo caso, te olvidas de la unitaridad y procedes de forma más ingenua. Aunque no estoy seguro de que esto tenga mucho sentido.

apt45 · Answer 1

Una buena manera de hacer un análisis de dimensión en el cálculo de amplitudes se basa en un buen conteo de potencia de la acción. Déjame explicarte cómo funciona antes de responder a tu pregunta. Para simplificar, a continuación, consideraré un QFT en $d=4$ .

Por lo general, es muy útil distinguir entre acoplamientos, constantes de decaimiento y escalas de masa. Para ello, restauramos las dimensiones de $\hbar$ . Lo que quiero decir es que la acción del sistema tiene que tener dimensión de $\hbar$ , a saber

[S] = [ℏ] . (1)

$[\mathcal{S}] = [\hbar].\qquad\qquad\qquad (1)$

Consideremos el ejemplo muy simple de una teoría escalar One Coupling One Scales (teoría escalar 1C1S), caracterizada por un acoplamiento $g_*$ y una escala $\Lambda$ (que interpretas como un corte que puede impulsar la expansión derivada de la EFT en poderes de $\partial/\Lambda$ ).

Habiendo restaurado los poderes de $\hbar$ , las dimensiones de los campos no son sólo las de los poderes de la energía. De hecho, del término cinético

[ℏ] = [S] = [\int d^{4} X (\partial ϕ)^{2}] = {METRO}^{- 4} {METRO}^{2} [ϕ]^{2}

$[\hbar]=[\mathcal{S}] = [\int d^4x \, (\partial\phi)^2] = M^{-4} M^2 [\phi]^2$

dónde $M$ simplemente significa "dimensión de una masa". De este análisis dimensional vemos que $[\phi] = \hbar^{1/2} M$ , y análogamente para los campos espinoriales $[\Psi] = \hbar^{1/2} M^{3/2}$ .

Definimos entonces un acoplamiento $g_*$ cuya dimensión es $[g_*] = [\hbar]^{-1/2}$ . Para la teoría escalar, puedes ver esto como una definición equivalente de $g_*$ como el cuadrado del coeficiente de la marginal $\phi^4$ Interacción. De hecho, el $\phi^4$ la interacción tiene la dimensión correcta como en la ecuación (1)

\int d^{4} X [{gramo}_{*}^{2} ϕ]^{4} = {METRO}^{- 4} [ℏ]^{- 1} {METRO}^{4} [ℏ]^{2} = [ℏ] .

$\int d^4 x\, [g_*^2 \phi]^4 = M^{-4} [\hbar]^{-1} M^4 [\hbar]^{2} = [\hbar].$

Verás, entonces el lagrangiano se puede escribir como

L (ϕ, \partial ϕ) = \frac{Λ^{4}}{{gramo}_{*}^{2}} \hat{L} ({gramo}_{*} \frac{ϕ}{Λ}, \frac{\partial}{Λ})

$\mathcal{L}(\phi,\partial\phi) = \frac{\Lambda^4}{g_*^2}\hat{\mathcal{L}}\left(g_* \frac{\phi}{\Lambda},\frac{\partial}{\Lambda}\right)$ dónde

\hat{L}

$\hat{\mathcal{L}}$ es una función adimensional de sus argumentos adimensionales. En general, cualquier inserción del campo puede llevar un

O (1)

$O(1)$ -coeficiente que no está fijado por el conteo de potencias (estos coeficientes se llamarán

a_{1}, a_{2}, a_{3} . . . .

$a_1,a_2,a_3....$ ; vea abajo). Entonces, por ejemplo, puedes escribir los términos más generales compatibles con las simetrías de la teoría. En este caso, no tenemos ninguna simetría, y podemos escribir

\begin{aligned} L & \supset \frac{Λ^{4}}{{gramo}_{*}^{2}} (a_{1} {gramo}_{*}^{2} \frac{(\partial ϕ)^{2}}{Λ^{4}} + a_{2} {gramo}_{*}^{2} Λ^{- 2} ϕ^{2} + a_{3} {gramo}_{*}^{3} Λ^{- 3} ϕ^{3} + a_{4} {gramo}_{*}^{4} Λ^{- 4} ϕ^{4} + a_{5} {gramo}_{*}^{4} Λ^{- 6} (\partial ϕ)^{2} ϕ^{2}) \\ = a_{1} (\partial ϕ)^{2} + a_{2} Λ^{2} ϕ^{2} + a_{3} {gramo}_{*} Λ ϕ^{3} + a_{4} {gramo}_{*}^{2} ϕ^{4} + a_{5} {gramo}_{*}^{2} \frac{(\partial ϕ)^{2} ϕ^{2}}{Λ^{2}} . (2) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{L} &\supset \frac{\Lambda^4}{g_*^2}\left( a_1 g_*^2 \frac{(\partial\phi)^2}{\Lambda^4} + a_2 \,g_*^2 \Lambda^{-2} \phi^2 + a_3\, g_*^3 \Lambda^{-3}\phi^3+a_4\, g_*^4 \Lambda^{-4} \phi^4 + a_5\, g_*^4 \Lambda^{-6}(\partial\phi)^2\phi^2\right)\\ &= a_1(\partial\phi)^2 + a_2 \, \Lambda^{2} \phi^2 + a_3\, g_* \Lambda\phi^3+a_4\, g_*^2 \phi^4 + a_5\, g_*^2 \frac{(\partial\phi)^2\phi^2}{\Lambda^2}\,.\qquad \qquad \qquad(2) \end{align}$

Para tener un campo escalar normalizado canónicamente podemos establecer $a_1=1/2$ .

Vayamos a tu pregunta. En primer lugar, debe identificar la dimensión correcta de la amplitud de dispersión (y esto depende de la definición de la matriz S y la normalización de los estados del espacio de Hilbert). Utilizo la misma normalización relativista de estados y definición de $S-$ matriz como en el libro de QFT de Schwartz. Para $2\rightarrow 2$ esparciéndose en $d=4$ , la amplitud tiene dimensión

[A_{2 \to 2}] = [ℏ]^{- 1} = [{gramo}_{*}]^{2} (3)

$[\mathcal{A}_{2\rightarrow 2}] = [\hbar]^{-1} = [g_*]^2\,\qquad \qquad \qquad (3)$ De hecho, mi contribución de amplitud de dispersión de

g_{*}^{2} ϕ^{4}

$g_*^2\phi^4$ va como

\sim g_{*}^{2}

$\sim g_*^2$

Tenga en cuenta que la dimensión de la amplitud depende de las dimensiones del espacio-tiempo y del número de partículas dispersas. En general $d$ dimensionar el $n-$ la amplitud del punto tiene dimensión $d-n\,d/2+n$ .

Eq.(3) significa que términos como $g_*^2 (E^2/\Lambda^2 + E^4/\Lambda^4)$ están genéricamente permitidos si existen operadores irrelevantes que contribuyen a estos órdenes en la energía; aquí $E$ es la energía del centro de masa $E= \sqrt{s}$ con $s$ la variable de Mandelstam.

En el ejemplo de la teoría 4-Fermi, puedes identificar (en mi normalización)

GRAMO ≃ \frac{{gramo}_{*}^{2}}{Λ^{2}}

$G\simeq \frac{g_*^2}{\Lambda^2}$

Si tienes el operador $\frac{g_*^2}{\Lambda^2} (\bar{\psi}\gamma^\mu \psi)^2$ , la única contribución a nivel de árbol es $g_*^2\, s/\Lambda^2$ . La contribución proporcional a $G^2$ proviene de un bucle. Esto se debe a que los bucles tienen una potencia de $\hbar$ que cancela la dimensión del extra $G$ inserción. Cuando se trata de bucles y renormalización, debe corregir un esquema de renormalización.

contribución de bucle ≃ \frac{{gramo}_{*}^{4}}{Λ^{4}} (#)

$\text{loop contribution}\simeq \frac{g_*^4}{\Lambda^4} (\#)$

que ponemos $(\#)$ ?

Si usa la regularización de corte (es decir, corta la integral de momento del ciclo) puede tener una combinación de potencias de $s$ y $\Lambda$ ; Sin embargo, estas contribuciones son locales y pueden eliminarse eligiendo contratérminos; no son físicos. La única contribución física de la integral de bucle es un logaritmo, a saber $s^2 log(s/\Lambda^2)$ .

Creo que Zee está discutiendo dos escenarios diferentes de una manera muy general, sin entrar en detalles y sin discutir la renormalización de campos.

Corte muy alto (pero sabes que la teoría tiene un corte físico), pequeñas energías de sondeo. La integral de bucle $I = \int d^4 k \frac{1}{k}\frac{1}{k+p}$ dónde $p$ es un momento externo, tiene dimensión $2$ . Entonces, el resultado puede ser $s$ o $\Lambda^2$ . en la suposición $s\ll \Lambda$ usted toma $\Lambda^2$ posiblemente multiplicando un registro.
Puede creer que su teoría se completa con UV y que puede probarse en cualquier energía; a saber, no tenemos un corte y la única cantidad dimensional es la energía del centro de masa (y tal vez la escala de renormalización o las masas de partículas que, sin embargo, se supone que son pequeñas); entonces, el resultado del ciclo puede ser $s$ posiblemente multiplicando un registro.

Tenga en cuenta que en un QFT masivo (completado con UV), la amplitud está restringida por el límite de Froissart para estar limitada desde arriba, a saber $|\mathcal{A}(s)| < s\cdot log^2(s)$ .

solo una observación menor: las divergencias de la ley de potencias no son necesariamente no físicas. Simplemente representan la contribución de la física ultravioleta desconocida de manera compatible con la simetría de la teoría regularizada, una vez que interpretó $\Lambda$ como un umbral físico en lugar de un corte artificial. Se pueden eliminar cambiando el esquema porque la física UV diferente puede o no generar esos términos (uno puede, por ejemplo, sintonizarlo marcando los parámetros de la teoría UV). Lo que presenta Zee son las dos caras de la moneda: la teoría necesita un corte físico, precisamente porque crece polinómicamente con la energía.

parker · Answer 2

Estoy de acuerdo en que la presentación de Zee es insatisfactoria y me gusta más la presentación de Srednicki (capítulo 18). En lugar de hacer simples argumentos basados en el análisis dimensional, Srednicki presenta el análisis dimensional como un atajo útil para averiguar si un diagrama de Feynman dado contiene una integral de bucle divergente, utilizando algunos argumentos de teoría de grafos sencillos pero no obvios. También le puede gustar la lección 1 de estas notas , que brinda un argumento más tosco en el espíritu de Zee, pero que creo que es mucho más claro que el de Zee.

usuario178876 · Answer 3

No hay nada malo con la presentación de Zee. En el primer caso, discute la primera corrección cuántica para $G$ , en el que corta la integral en $\Lambda$ . Entonces las únicas cantidades dimensionales en el juego son $G$ y $\Lambda$ , y encuentra que las correcciones van como $G\,\Lambda^2$ , y argumenta por qué eso es enfermizo. Por supuesto, esta no es la historia completa, por ejemplo, las correcciones a las masas escalares también van como $\Lambda^2$ , y uno puede matarlos por los contratérminos correspondientes. El problema real aquí es que terminará necesitando introducir una cantidad infinita de contratérminos, por ejemplo en el $G^2$ nivel también habrá una interacción de 6 fermiones. Por lo tanto, la teoría ya no es predictiva.

En el segundo caso, analiza los experimentos de dispersión y explica por qué no se puede confiar en la teoría si $E\gtrsim G^{-1/2}$ . En contraste con el caso anterior, él está discutiendo amplitudes de nivel de árbol, y aquí las únicas cantidades dimensionales son $E$ y $G$ .

Ambas observaciones le dicen que las teorías cuánticas de campo (punto-partícula) en 4D con acoplamientos de dimensión de masa negativa no son UV completas.

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knzhou

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usuario178876

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