Intuición para el estrés y el tensor de estrés de Cauchy

Estoy luchando por obtener una comprensión intuitiva de qué es exactamente el estrés, particularmente la "dirección" asociada con él.

En el caso de una barra unidimensional con solo carga uniaxial, la forma en que me explicaron el estrés fue simplemente ± F A dónde F es la fuerza aplicada a cualquiera de los extremos, A es el área de la sección transversal y el signo se refiere a tensión o compresión. Esta explicación está bien como fórmula, pero no veo cómo se relaciona con las "fuerzas internas".

He encontrado otras fuentes que lo explican con un "corte imaginario" a través del material, ignorando un lado del corte e imponiendo el equilibrio en la otra pieza. ¿Por qué cualquiera de los lados puede ser "ignorado"? Si el esfuerzo es la fuerza interna por unidad de superficie, ¿por qué la parte despreciada no contribuye al esfuerzo? (después de todo, la parte descuidada comparte la superficie).

En el caso más general usando el Tensor de Estrés,

T = [ σ X X τ X y τ X z τ y X σ y y τ y z τ z X τ z y σ z z ]

¿Cada uno de los componentes describe el esfuerzo sobre las superficies de algún volumen infinitesimal? Si es así, ¿qué caras describen (hay 2 caras normales a cada dirección)? ¿Es la suma de las tensiones en cada cara?

Cualquier idea sobre estas preguntas sería muy apreciada, gracias por leer

Respuestas (2)

¿Cada uno de los componentes describe el esfuerzo sobre las superficies de algún volumen infinitesimal?

Esencialmente, sí.

Si es así, ¿qué caras describen (hay 2 caras normales a cada dirección)? ¿Es la suma de las tensiones en cada cara?

La suposición es que el volumen está en equilibrio, tanto traslacional como rotacional. Sobre esa base, los términos de la diagonal son las tensiones normales externas aplicadas en las caras del cubo. Hay seis caras, pero la tensión normal en cada cara opuesta es igual y opuesta para el equilibrio de traslación, por lo que solo se especifican tres en el tensor. Si solo hubiera una tensión normal en un par de caras opuestas y no se aplicara una tensión cortante en la cara, tendría su ecuación de tensión uniaxial. Puede ver esto en la figura en el enlace de Wikipedia proporcionado por @nicoguaro, excepto que σ se utiliza para el esfuerzo cortante y mi se utiliza para el estrés normal.

Los términos fuera de la diagonal son los esfuerzos cortantes en cada cara. Se especifican seis pero tres pares son idénticos, por ejemplo, τ X y = τ y X . Esto debe ser así para que no haya rotación del cubo. Por ejemplo, en cuanto a los índices de @nicoguaro, σ 21 = σ 12

Espero que esto ayude.

Podríamos partir del postulado de Cauchy donde tomamos un plano arbitrario definido por un vector normal norte ^ y de area finita Δ S , y calcule la tracción en ese plano Δ R (aquí estoy descuidando las parejas Δ METRO ya que deberían desaparecer en el caso clásico).

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Si tomamos el límite cuando el tamaño del área llega a cero, terminamos con la definición de la tracción en un punto particular (en notación de índice)

t i ( norte ^ ) = σ j i norte j .

Lo que esto nos está diciendo es que el efecto que estamos viendo (tracción) es la proyección de un tensor σ j i . Eso significa que las "fuerzas" internas están caracterizadas por este tensor y las probamos a través de una proyección, calculando las tracciones.

Entonces, podemos interpretar los componentes del tensor de tensión utilizando el plano sobre el que estamos proyectando y la dirección asociada con el vector de tracción dado. Como se muestra en la siguiente figura del artículo de Wikipedia sobre el estrés de Cauchy .

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