Intuición física para el teorema de los ejes paralelos

Es cierto que la distancia desde el eje ha disminuido, pero observe que estamos tomando el cuadrado del cuadrado de las distancias y, por lo tanto, los signos desaparecen. Es decir, incluso si el cambio promedio de una colección de cantidades es cero, la suma de las cantidades al cuadrado no lo sería a menos que todas las cantidades bajo consideración sean cero.

En realidad, existen paralelismos entre ideas matemáticas como la desviación estándar y la del momento de inercia. Comprender uno puede ayudar a comprender otro. Mira aquí

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Tal vez una derivación de la misma puede ayudar en la comprensión. Aquí hay una derivación intuitiva y simple para el teorema del eje paralelo de Resnick Halliday walker, considere la inercia a lo largo del$z$eje:

$$I = \int r^2 dm = \int x^2 + y^2 dm$$

dónde$r$es la distancia perpendicular a los elementos de masa desde el$z$eje, bajo un cambio de coordenadas a$x', y'$dónde$x' = x-a$y$y'=y-b$, podemos escribir el nuevo momento de inercia en el nuevo sistema como:

$$I' = \int (x-a)^2 + (y-a)^2 dm = \int x^2 +y^2 dm - \left[ 2a \int x dm - 2b \int y dm \right] + (a^2 +b^2) \int dm$$

La primera integral es solo el momento de inercia a lo largo del eje original que tomamos. Si tomamos el eje original como el eje del centro de masa, las integrales entre paréntesis son cero (¿por qué?). Por eso,

$$I' = I + (a^2 + b^2 ) M$$

Ahora, podemos encontrar geométricamente que$a^2 +b^2$es igual a la distancia perpendicular al cuadrado entre dos ejes, llamemos a eso$L^2$

$$I'= I + L^2 M$$

Considere por simplicidad solo dos "partículas" de masa m , cada una en una barra sin masa de longitud, digamos$2L$. El momento de inercia de este sistema con respecto al COM es

$$\begin{equation} I = mL^2+mL^2=2mL^2. \end{equation}$$

Ahora mueve el eje por$x$. Entonces el momento de inercia se convierte en

$$\begin{equation} I = m(L+x)^2+m(L-x)^2=2mL^2+2mx^2. \end{equation}$$

Lo crucial es que$r$entra en el momento de inercia con potencia 2.

Piensa en el$M d^2$término de la siguiente manera:

• La velocidad de una masa en el extremo de una barra giratoria sin masa es proporcional a$d$ $$v = \omega d$$
• Así, el momento de traslación de dicha masa es proporcional a$M d$ $$p = M v = M (\omega d)$$
• El momento angular de la masa ("torque" del momento) es proporcional a$d p$ $$L = d M (\omega d) = (M d^2) \omega$$

Así que uno de los$d$El momento de inercia en masa proviene del hecho de que la velocidad aumenta con la distancia, y el otro del hecho de que el brazo de momento del impulso aumenta con la distancia.