Interpretación: forma de probabilidad amplitud de probabilidad (partícula libre)

Question

Interpretación: forma de probabilidad amplitud de probabilidad (partícula libre)

Física
regla de nacimiento
probabilidad
integral de trayectoria
mecánica cuántica
interpretaciones cuánticas

André

Si calcula la amplitud de probabilidad de una partícula no relativista 1D libre con masa $m$ , ubicado en la posición $x_0$ en el momento $t_0$ , por ser detectado en algún otro punto $x_N$ en el momento $t_N$ encontrará que está dado por

METRO = ⟨ X_{norte} | {mi}^{- \frac{i}{ℏ} \frac{{PAG}^{2}}{2 metro} (t_{norte} - t_{0})} | X_{0} ⟩ = {(\frac{metro}{2 π i ℏ (t_{norte} - t_{0})})}^{1 / 2} {mi}^{\frac{i}{ℏ} \frac{metro}{2} \frac{(X_{norte} - X_{0})^{2}}{t_{norte} - t_{0}}}

$\mathcal{M} = \left\langle x_N \right| \text{e}^{-\frac{\text{i}}{\hbar} \frac{P^2}{2m}(t_N-t_0)}\left| x_0\right\rangle =\left(\frac{m}{2\pi\text{i}\hbar\ (t_N-t_0)}\right)^{1/2} \text{e}^{\frac{\text{i}}{\hbar}\frac{m}{2}\frac{(x_N-x_0)^2}{t_N-t_0}}$ Ahora, si calculo la probabilidad correspondiente (densidad) de acuerdo con

PAG = {| METRO |}^{2} = METRO {METRO}^{*} = \frac{metro}{2 π ℏ (t_{norte} - t_{0})}

$P = \left|\mathcal{M}\right|^2 = \mathcal{M} \mathcal{M}^* = \frac{m}{2\pi\hbar\ (t_N-t_0)}$ de alguna manera se me ocurre que no depende de la distancia

(x_{N} - x_{0})

$(x_N-x_0)$ en absoluto. ¿Significa esto que la probabilidad de detectar la partícula es la MISMA en todas partes? Esperaba algo como la inicial (es decir

t_{N} \to t_{0}

$t_N \rightarrow t_0$ ) función delta "desapareciendo" como un paquete de ondas gaussianas... ¿Alguien puede decirme cuál es la interpretación correcta de

P

$P$ ¿debiera ser?

Ján Lalinský

Puede describir un paquete de ondas gaussianas centrado en

r_{0}

$r_0$ con variación de posición

σ

$\sigma$ , si comienzas con la condición inicial

ψ_{0} (x_{0}, t_{0}) = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2 π} σ}} e^{- \frac{(x_{0} - r_{0})^{2}}{4 σ^{2}}}

$\psi_0(x_0,t_0) = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2\pi}\sigma}} e^{-\frac{(x_0-r_0)^2}{4\sigma^2}}$ . Luego puede encontrar su evolución temporal calculando la integral a continuación.

Respuestas (2)

Interpretación: forma de probabilidad amplitud de probabilidad (partícula libre)

Puede describir un paquete de ondas gaussianas centrado en $r_0$ con variación de posición $\sigma$ , si comienzas con la condición inicial $\psi_0(x_0,t_0) = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2\pi}\sigma}} e^{-\frac{(x_0-r_0)^2}{4\sigma^2}}$ . Luego puede encontrar su evolución temporal calculando la integral a continuación.

Ján Lalinský · Answer 1

¿Significa esto que la probabilidad de detectar la partícula es la MISMA en todas partes?

No, no lo hace. Este es un error bastante común, derivado de la idea de que la función de Green $\mathcal{M}$ se puede utilizar en el papel de $\psi$ función de partícula libre con la interpretación Born de $|\psi|^2$ como densidad de probabilidad. Pero eso no es posible, ya que $\mathcal{M}$ no es normalizable.

La cantidad $\mathcal{M}$ es simplemente la función de Green de la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo para partículas libres. Puede usarse para expresar $\psi$ función de la partícula en el tiempo $t$ como

ψ (X, t) = \int METRO (X, t; X_{0}, t_{0}) ψ_{0} (X_{0}, t_{0}) d X_{0}

$\psi(x,t) = \int \mathcal{M}(x,t;x_0, t_0) \psi_0(x_0,t_0) dx_0$ dónde

ψ_{0} (x_{0}, t_{0})

$\psi_0(x_0,t_0)$ se normaliza inicial

ψ

$\psi$ función en el tiempo

t_{0}

$t_0$ .

¿Es entonces también inválido tomar $\psi$ en la integral para ser la función propia del operador de posición?
El operador de posición no tiene función propia normalizable. La distribución delta a menudo se denomina función propia, pero no es normalizable. Podemos reemplazarlo en la integral, pero el resultado $\psi$ tampoco será normalizable.
¿Eso implica que es realmente IMPOSIBLE que una partícula esté en un estado propio del operador de posición?
Es imposible si trabajamos con la interpretación del Born de $|\psi|^2$ como distribución de probabilidad. Si abandonamos esta interpretación y entendemos $\psi$ de alguna otra manera, podría ser posible que las distribuciones delta desempeñen el mismo papel que las distribuciones normalizables $\psi$ 's. O podríamos introducir un nuevo objeto, $\sqrt{\delta}$ , para desempeñar el papel de funciones propias de posición normalizables. Pero ninguno de estos parece conducir a una nueva comprensión. Una forma de reconciliarse con esta situación es abandonar la idea de que la medición de posiciones reduce la $\psi$ funciones a función propia del operador $\hat x$ .
¡Muchas gracias por aclarar estos temas! ¿Tiene alguna sugerencia bibliográfica sobre este tema? Estaría particularmente interesado en ver hasta qué nivel de rigor matemático es posible introducir "estados propios de posición normalizables" y cuáles serían las implicaciones de tal enfoque.
En la teoría cuántica ordinaria, no conozco ninguna buena referencia. En la teoría cuántica de campos, la gente habla mucho más de la discretización: en lugar del espacio continuo, la teoría se formula para una red discreta y el espaciado se envía a cero solo hacia el final del cálculo. Una implicación importante de esto parece ser que una vez que se discretiza el espacio, es difícil hacer que la teoría se ajuste al principio de la relatividad (la red no es simétrica con respecto a las rotaciones, el cambio de velocidad del marco provoca contracciones de longitud de la red, etc.)

qmecanico · Answer 2

El propagador /kernel/amplitud de Feynman es, como escribe OP,

\begin{matrix} (1) & ⟨ X_{F}, t_{F} | X_{i}, t_{i} ⟩ = \sqrt{\frac{metro}{2 π i ℏ} \frac{1}{Δ t}} Exp [\frac{i metro}{2 ℏ} \frac{(Δ X)^{2}}{Δ t}], \end{matrix}

$\tag{1} \langle x_f ,t_f | x_i ,t_i \rangle~=~ \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar} \frac{1}{\Delta t}} \exp\left[ \frac{im}{2\hbar}\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}\right],$

dónde $\Delta x:=x_f-x_i$ y $\Delta t:=t_f-t_i > 0$ . Se entiende implícitamente en la ec. (1), que uno debe realizar el Feynman $i\epsilon$ prescripción. Más precisamente, se debe sustituir $\Delta t\to\Delta t-i\epsilon$ , es decir, el $\Delta t\in\mathbb{C}$ en la ec. (1) en realidad está situado justo debajo del eje real en el complejo $\Delta t$ avión. Este $i\epsilon$ La prescripción asegura que el propagador (1) se convierta en una distribución delta de Dirac en el corto plazo:

\begin{matrix} (2) & ⟨ X_{F}, t_{F} | X_{i}, t_{i} ⟩ ⟶ d (Δ X) para Δ t \to 0^{+} . \end{matrix}

$\tag{2} \langle x_f ,t_f | x_i ,t_i \rangle ~\longrightarrow~\delta(\Delta x) \quad \text{for} \quad \Delta t \to 0^{+}.$

Como se explica en la Ref. 1 no existe una noción absoluta de probabilidad ya que el espacio de posiciones no es compacto, pero sí una noción relativa de probabilidad. La distribución de probabilidad relativa en el espacio de posiciones se vuelve uniforme

PAG (X_{F}, t_{F}; X_{i}, t_{i}) = | ⟨ X_{F}, t_{F} | X_{i}, t_{i} ⟩ |^{2} = \frac{metro}{2 π ℏ} \frac{1}{\sqrt{(Δ t)^{2} + ϵ^{2}}} Exp [- \frac{metro ϵ}{ℏ} {(\frac{Δ X}{Δ t})}^{2}]

$P(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~|\langle x_f ,t_f | x_i ,t_i \rangle|^2~=~\frac{m}{2\pi \hbar} \frac{1}{\sqrt{(\Delta t)^2+\epsilon^2}}\exp\left[ -\frac{m\epsilon}{\hbar}\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2\right]$

\begin{matrix} (3) & ⟶ \frac{metro}{2 π ℏ} \frac{1}{Δ t} para ϵ \to 0^{+} . \end{matrix}

$\tag{3} \longrightarrow~ \frac{m}{2\pi \hbar} \frac{1}{\Delta t}\quad \text{for} \quad \epsilon \to 0^{+}.$

Físicamente, esto puede entenderse como que la distribución de probabilidad relativa correspondiente en el espacio de momentos también es uniforme. Expresado de otra manera, un estado propio de posición es una superposición de todos los estados propios de momento, y resulta que la partícula puede estar cerca o lejos con la misma densidad de probabilidad.

Para obtener más información sobre la normalización de la integral de trayectoria, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE y los enlaces que contiene.

Referencias:

RP Feynman y AR Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, 1965, Problema 3.1.

Interpretación: forma de probabilidad amplitud de probabilidad (partícula libre)

André

Ján Lalinský

Respuestas (2)

Ján Lalinský

BMS

Ján Lalinský

André

Ján Lalinský

André

Ján Lalinský

qmecanico

¿Podría la mecánica cuántica funcionar sin la regla de Born?

¿Son matemáticamente posibles las variaciones de QT que preservan la probabilidad con respecto a la regla de Born?

¿Cuál es la interpretación de probabilidad cero en física?

¿Hay alguna derivación de la regla de nacimiento de MWI que funcione?

Decoherencia en la mecánica cuántica de Everett

¿La regla de Born generalmente se considera un axioma en la mecánica cuántica?

Diferentes postulados e interpretaciones estadísticas de la mecánica cuántica

¿Existe una base matemática para la regla de Born?

¿Por qué el Teorema de Gleason no es suficiente para obtener la Regla Nacida en la Interpretación de Muchos Mundos?

¿Es el término 'interpretación' en mecánica cuántica lo mismo que el término 'interpretación' en probabilidad?