Diferentes postulados e interpretaciones estadísticas de la mecánica cuántica

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Diferentes postulados e interpretaciones estadísticas de la mecánica cuántica

Física
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mecánica cuántica
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interpretaciones cuánticas

usuario100411

Hola, tengo una consulta sobre la diferencia de dos aspectos de la interpretación estadística de la mecánica cuántica dada en los populares libros de introducción a la mecánica cuántica "Introducción a la mecánica cuántica" de Griffiths y "Conceptos y aplicaciones de la mecánica cuántica" de Zettili.

En Griffiths tenemos: Considere un observable $\hat{Q}$ , con funciones propias $f_{n}(x)$ y valores propios asociados $q_n$ . Como las funciones propias son completas, tenemos $\Psi(x,t) = \sum_{n}c_n f_n(x)$ cual es

Ψ (X, t) = ⟨ X | Ψ ⟩ = \sum_{norte} ⟨ X | F_{norte} ⟩ ⟨ F_{norte} | Ψ ⟩

$\Psi(x,t) = \langle x| \Psi \rangle = \sum_n \langle x | f_n \rangle \langle f_n |\Psi \rangle$ dónde

c_{n} = ⟨ f_{n} | Ψ ⟩

$c_n = \langle f_n | \Psi \rangle$ y

| c_{n} |^{2}

$|c_n|^2$ es la probabilidad de la medida de

\hat{Q}

$\hat{Q}$ daría un valor propio

q_{n}

$q_n$ . Después de una medición del observable, Griffiths afirma que el vector de estado colapsa en una de las funciones propias

f_{n}

$f_n$ .

En Zettili, parece tratar con $c_n$ y valores propios $a_n$ como la misma cosa. Él tiene eso con valores propios $a_n$ y funciones propias $| \psi_n \rangle$ de observable $\hat{A}$ que actúa sobre el vector de estado $|\psi(t) \rangle$ tenemos

| ψ (t) ⟩ = \sum_{norte} a_{norte} | ψ_{norte} ⟩ .

$|\psi(t) \rangle = \sum_n a_n | \psi_n \rangle.$

Como puede verse Zettili omite los coeficientes $c_n$ sino que toma los valores propios $a_n$ como el coeficiente. Y así Zettili establece que la probabilidad de obtener valores propios $a_n$ es:

{PAG}_{norte} (a_{norte}) = \frac{| a_{norte} |^{2}}{⟨ ψ | ψ ⟩} .

$P_n(a_n) = \frac{|a_n|^2}{\langle \psi | \psi \rangle}.$

¿Qué interpretación es la correcta (o preferible) y la más utilizada?

Además, Zettili afirma que el vector estatal colapsa para $a_n| \psi_n \rangle$ ¿Dónde, como Griffiths, simplemente afirma que el vector de estado colapsa en la función propia?

Pagina en cuestion:

Emilio Pisanty

Si de hecho eso es lo que tiene Zettili, entonces está mal, pero está tan mal que el candidato natural es que lo estás citando mal.

Motl de Luboš

No hay evidencia de un error en ninguno de los dos libros. La idea que

a_{n}

$a_n$ es un valor propio es puramente un error del OP.

usuario100411

@EmilioPisanty Actualicé la pregunta para incluir un archivo adjunto de la página en cuestión. Tal vez me estoy perdiendo algo, pero esto es lo que parece indicar.

Motl de Luboš

Bien, con la imagen, estoy de acuerdo en que el libro de Zettili es completamente descuidado y usa el mismo símbolo para los valores propios y las amplitudes de probabilidad en todas partes. Esto es lo suficientemente malo como para hacer que el libro quede inutilizable. Son cosas completamente diferentes, ni siquiera tienen la misma unidad, el valor propio suele ser real, mientras que la amplitud es muy compleja, y así sucesivamente. Parece ser más que un error tipográfico, el autor realmente parece confundido acerca de algunas cosas básicas.

Emilio Pisanty

Sí, estoy de acuerdo con Luboš: la identificación errónea de

a_{n}

$a_n$ como dos objetos diferentes en la misma página es lo suficientemente malo como para descalificar completamente el libro.

usuario100411

Supongo que me apegaré a Griffiths para esta sección. Pero los primeros capítulos están bastante bien presentados. Gracias.

Motl de Luboš

La tabla de contenido (revisé en amazon.com) parece un libro QM estándar, Emilio... Una cosa inusual, solo hay algo de código C++ para resolver numéricamente Sch. ecuación.

Respuestas (1)

Diferentes postulados e interpretaciones estadísticas de la mecánica cuántica

Si de hecho eso es lo que tiene Zettili, entonces está mal, pero está tan mal que el candidato natural es que lo estás citando mal.
No hay evidencia de un error en ninguno de los dos libros. La idea que $a_n$ es un valor propio es puramente un error del OP.
@EmilioPisanty Actualicé la pregunta para incluir un archivo adjunto de la página en cuestión. Tal vez me estoy perdiendo algo, pero esto es lo que parece indicar.
Bien, con la imagen, estoy de acuerdo en que el libro de Zettili es completamente descuidado y usa el mismo símbolo para los valores propios y las amplitudes de probabilidad en todas partes. Esto es lo suficientemente malo como para hacer que el libro quede inutilizable. Son cosas completamente diferentes, ni siquiera tienen la misma unidad, el valor propio suele ser real, mientras que la amplitud es muy compleja, y así sucesivamente. Parece ser más que un error tipográfico, el autor realmente parece confundido acerca de algunas cosas básicas.
Sí, estoy de acuerdo con Luboš: la identificación errónea de $a_n$ como dos objetos diferentes en la misma página es lo suficientemente malo como para descalificar completamente el libro.
Supongo que me apegaré a Griffiths para esta sección. Pero los primeros capítulos están bastante bien presentados. Gracias.
La tabla de contenido (revisé en amazon.com) parece un libro QM estándar, Emilio... Una cosa inusual, solo hay algo de código C++ para resolver numéricamente Sch. ecuación.

Motl de Luboš · Answer 1

No hay absolutamente ninguna "libertad de interpretación" aquí. Ambos libros deberían, y todos los demás libros que no están completamente equivocados, estar de acuerdo con estas fórmulas y estar de acuerdo en que $a_n$ nunca indica un valor propio.

En ambos libros y en toda la ciencia, $a_n$ es la amplitud de probabilidad compleja tal que $|a_n|^2$ representa la probabilidad de que el sistema tenga la $n$ -ésimo valor propio del operador correspondiente. El valor propio se suele llamar $\lambda_n$ . Después de escribir esta respuesta, una captura de pantalla demostró que Zettili realmente usa el símbolo $a_n$ tanto para la amplitud como para el valor propio: es una confusión lo suficientemente grande en la notación.

La amplitud de probabilidad compleja $a_n$ o $c_n$ – ambas notaciones están muy extendidas, y muchas otras – son los coeficientes en la expansión de un vector de estado

| ϕ ⟩ = \sum_{norte} C_{norte} | ψ_{norte} ⟩

$| \phi \rangle = \sum_n c_n |\psi_n\rangle$ Aquí, los vectores base

| ψ_{n} ⟩

$|\psi_n\rangle$ son vectores propios de un operador

L

$L$

L | ψ_{norte} ⟩ = λ_{norte} | ψ_{norte} ⟩

$L |\psi_n \rangle = \lambda_n | \psi_n \rangle$ dónde

λ_{n}

$\lambda_n$ son los valores propios. Además, la ecuación

{PAG}_{norte} (a_{norte}) = \frac{| a_{norte} |^{2}}{⟨ ψ | ψ ⟩}

$P_n(a_n) = \frac{|a_n|^2}{\langle \psi | \psi \rangle}$ dice que la probabilidad de que el valor propio sea

λ_{n}

$\lambda_n$ (que se indica simplemente con el subíndice

n

$n$ de

P_{n}

$P_n$ ) es el valor absoluto al cuadrado de la amplitud de probabilidad,

| a_{n} |^{2}

$|a_n|^2$ . El denominador se escribe allí para permitir que la norma

⟨ ψ | ψ ⟩

$\langle \psi|\psi \rangle$ ser diferente de uno: tiene el mismo efecto que cambiar la escala

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ que la norma sea uno.

Además, en la ecuación, el lado izquierdo contiene $(a_n)$ que simplemente dice que la probabilidad de que el valor propio $\lambda_n$ se realiza es una función de las amplitudes de probabilidad $a_n$ (bueno, el particular con el mismo $n$ es el más importante, pero los demás pueden entrar por el denominador que se necesita si se ignora la condición de que la norma sea uno).

Puede que tengas razón, pero esto es lo que parece estar diciendo. Consulte la pregunta editada para el archivo adjunto.
Lo siento, estoy de acuerdo, hay un error tipográfico repetido varias veces a continuación (3,2), "valor propio $a_n$ " debería ser "valor propio $\lambda_n$ " un par de veces. Bueno, es descuidado y claramente usa el mismo símbolo tanto para las amplitudes como para los valores propios. Por lo tanto, la corrección completa del libro tendría que decidir sobre casi todas las ecuaciones. ;-)

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