Interpretación física de campos en QFT

En las teorías cuánticas de campos, los campos están ahí para hacer que la localidad y la causalidad se manifiesten. Estos campos son combinaciones lineales adecuadas de operadores de creación y aniquilación de estados de una partícula. No son necesariamente hermíticos, lo que significa (en QM) que no son necesariamente observables.

Son algo como:

$$\phi_{\alpha}(x)=\sum_{p,\sigma,n}A_{\alpha}^{p,\sigma,n}(x)a_{p,\sigma,n}+\sum_{p,\sigma,n}B_{\alpha}^{p,\sigma,n}(x)a^{\dagger}_{p,\sigma,n}$$

dónde$\alpha$lleva una representación finita del grupo de simetría de Lorentz. Se construyen de tal manera que$[\phi_{\alpha}(x),\phi^{(\dagger)}_{\beta}(y)]=0$para intervalos similares al espacio. Esto facilita nuestra vida para construir interacciones que respeten la casualidad y la localidad. Sólo haciendo términos como

$$V=\int d^4x\, \partial^{(m)}\phi(x)^n...\partial^{(k)}\psi(x)^l$$

O cualquier otra no linealidad en el Lagragiano o el Hamiltoniano. Necesitamos hacerlo porque todas las cantidades físicas son sensibles a las interacciones a través del ordenamiento temporal:

$$\mathcal{T}\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int_{t1}^{t2}V(t)dt\right)$$ y, en general, la ordenación temporal de un producto de campos $\mathcal{T}(\phi_{\alpha}\phi^{\dagger}_{\beta})$dependería del marco referencial si $[\phi_{\alpha}(x),\phi^{(\dagger)}_{\beta}(y)]\neq0$.

El punto es: tal vez haya otras formas de acercarse a QM relativista sin campos, vea esto por ejemplo.

Ahora, puede que se esté preguntando acerca de los campos que aparecen en escala macroscópica como el campo EM. Resulta que las partículas sin masa se acoplan con partículas masivas de tal manera ( interacciones de calibre ) que facilita que surjan algunos tipos de estados de partículas múltiples, a saber, los estados coherentes .

Este estado tiene un número no definido de partículas y un campo bien formado. Puedes pensar en eso como la principal manifestación de la dualidad onda-partícula. Hay un campo observable$\mathcal{O}(x)$, con valor esperado$\langle\mathcal{O}(x)\rangle = \mathcal{O}_{\mathcal{cl}}(x)$, y una desviación estándar mínima. El estado de vacío es un estado coherente para$\mathcal{O}_{\mathcal{cl}}(x)=0$En todas partes. Cualquier sistema, en principio, puede lograr estos estados, pero debe haber interacciones que realicen físicamente tales estados. En relatividad especial estos estados son muy naturales, especialmente para partículas sin masa.

En QM no relativista, el número de partículas siempre se conserva, y la superposición de estados con diferente número de partículas es imposible, lo que implica la no realización de estados coherentes. Esto es así por la presencia de una carga central en el álgebra de Lie del Grupo de Galileo . Las cargas centrales son amenazas a las simetrías. No estropean necesariamente la simetría, pero pueden estropearla si se desobedecen las reglas de superselección.

Comenzando con campos no relativistas (y luego incorporando la mecánica cuántica):

Un campo es un objeto/entidad que, en cada punto del espacio y del tiempo, tiene un valor, por lo que son, en efecto, “funciones” del espacio y del tiempo. Un campo también satisface una ecuación de movimiento, y tienen un significado físico en el sentido de que pueden transportar energía de un lugar a otro y son capaces de afectar los procesos físicos.

Pasando a los campos relativistas:

Los campos relativistas se dividen en 2 grupos, basados ​​en satisfacer una ecuación de movimiento de cualquier clase$0$o$1$, (que son clases de ecuaciones, dependientes de la naturaleza de la función$Z$).

$$\frac {d^2Z}{dt^2} – c^2 \frac {d^2Z}{dx^2} = 0,\qquad \mathrm{Equations\ of\ class\ } 0.$$ (Las ondas electromagnéticas que se mueven a través del vacío cumplen con ecuaciones de clase 0 y viajan en c).

o una ecuación de movimiento

$$\frac {d^2Z}{dt^2} – c^2 \frac {d^2Z}{dx^2} = – (2\pi \nu_{\mathrm{min}} )^2 (Z-Z_0) \qquad \mathrm{Equations\ of\ class\ }1.$$

$\nu_{\mathrm{min}}$es la frecuencia mínima para las ondas en este campo.

Si la ecuación de clase$1$tienen soluciones con amplitud$A$, frecuencia$\nu$, longitud de onda$\lambda$y valor de equilibrio$Z_0$, entonces la ecuación de movimiento requiere que la frecuencia y la longitud de onda estén relacionadas con la cantidad$\nu_{\mathrm{min}}$ que aparece en la ecuación por la fórmula:

$$\begin{align} \nu^2 &= \left(\frac{c}{\lambda}\right)^2+ (\nu_{\mathrm{min}})^2 \\ &= \left(\frac{c}{\lambda}\right)^2+ (\nu_{\mathrm{min}})^2 \end{align}$$

La frecuencia mínima para cualquier onda es solo$\nu_{\mathrm{min}}$y ajuste$\nu = \nu_{\mathrm{min}}$ (y por lo tanto$\lambda \rightarrow \infty$) corresponde a una línea vertical.

Es posible obtener la clase similar$1$relación simplemente estableciendo$\mu = \nu_{\mathrm{min}}$ a cero; obteniendo la raíz cuadrada, tenemos$\nu = c/\lambda$, que es básicamente una línea recta.

En esta situación,$\nu_{\mathrm{min}}$es cero; el campo es capaz de oscilaciones a cualquier frecuencia.

Ahora necesitamos incorporar QM colocando valores discretos en amplitud$A$y estos valores son proporcionales a la raíz cuadrada de$n$, un entero positivo (o cero), que es el número de cuantos de oscilación en la onda. La energía almacenada en la onda es:

$$E = \left(n+\frac{1}{2}\right) h \nu$$

dónde$h$es la constante de Planck. La energía asociada con cada cuanto de oscilación depende únicamente de la frecuencia de oscilación de la onda, y es igual a

$$\begin{align} E &= h \nu,\ (\mathrm{for\ each\ additional\ quantum\ of\ oscillation}). \\ E^2 &= (h\nu)^2 \\ &= \left(\frac{hc}{\lambda}\right)^2 + (h \nu_{\mathrm{min}})^2 \end{align}$$

La teoría de la relatividad de Einstein nos da la ecuación de la energía relativista.

$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$

La energía mínima que el objeto puede tener es solo$mc^2$, (es energía en reposo) lo que refuerza la afirmación de que la frecuencia mínima que puede tener una onda de clase 1 es$\nu_{\mathrm{min}}$. Esto lleva a la conclusión de que, para un cuanto de un campo relativista,

$$\begin{align} p c & = \frac{hc}{\lambda},\ \mathrm{and} \\ m c^2 & = h \nu_{\mathrm{min}}, \end{align}$$ las familiares relaciones de Einstein De Broglie.

Clase$0$Los campos relativistas incluyen campos eléctricos y sus ondas son ondas electromagnéticas. La versión de la fórmula anterior que obtenemos para la clase$0$quanta es lo mismo que para la clase$1$campos con$\mu = \nu_{\mathrm{min}}$ igual a cero, en otras palabras, con$m = 0$.

La raíz cuadrada es:

$$E = p c$$ que es la relación de Einstein para partículas sin masa. Los cuantos de ondas electromagnéticas son de hecho, una vez aplicadas las dos ecuaciones anteriores, partículas sin masa, es decir, fotones.

A partir de la segunda ecuación anterior, finalmente podemos ver cuál es la masa de una partícula. Cada partícula que tiene una masa es un cuanto de una clase$1$campo cuyas ondas tienen una frecuencia mínima$ν_{min}$; la energía mínima de un solo cuanto de estas ondas es$h$por frecuencia, y la masa de la partícula es esa energía mínima dividida por$c^2$.

$$m = \frac{h \nu_{\mathrm{min}} }{c^2}$$

Para descubrir la fuente de la masa de la partícula, necesitamos saber qué determina$\nu_{\mathrm{min}}$, y por qué existe una frecuencia mínima. Estas son todavía preguntas abiertas.

Las partículas son cuantos de campos cuánticos relativistas. Las partículas sin masa son cuantos de ondas en campos que satisfacen una clase$0$ecuación. Las partículas masivas se relacionan con campos con una clase$1$ecuación.

Mi agradecimiento a @flippiefanus por señalar que los comentarios anteriores se refieren a campos bosónicos.

Campos fermiónicos

La ecuación de Weyl se ocupa del espín sin masa.$\frac {1}{2}$Las partículas se pueden escribir: 

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

explícitamente en unidades SI:

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

dónde

${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(\sigma ^{0},\sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3})=(I_{2},\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$

es un vector cuyas componentes son la matriz identidad 2 × 2 para$\mu$= 0 y las matrices de Pauli para$\mu$= 1,2,3 y$\psi$es la función de onda, uno de los espinores de Weyl.

Lo más vergonzoso de todo es que he omitido la ecuación de Dirac (para un giro masivo).$\frac {1}{2}$partículas, que, en la forma propuesta originalmente por Dirac es:

${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n{\mathop {=}}1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}$

dónde $\psi = \psi(x, t)$ es la función de onda para el electrón de masa en reposo $m$ con coordenadas de espacio-tiempo $x$, $t$. los $p_1$, $p_2$, $p_3$ son los componentes del momento, entendido como el operador de momento en la ecuación de Schrödinger.

Usando$\gamma$matrices, la ecuación de Dirac se puede reducir a:

${\displaystyle i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc\psi =0}$

Esta respuesta se basa en este sitio web, Matt Strassler - Fields y mis notas basadas en otras páginas en el mismo sitio excelente. (Lo que incluye ilustraciones que asumo tienen derechos de autor). También se incluyen extractos de Wikipedia Weyl Equation y Dirac Equation .