Contar grados de libertad en teorías de campos

Realmente deberías dividir tu pregunta. Contestaré la parte donde no entiendes cómo funciona el conteo de grados de libertad.

Básicamente, contamos el número de grados de libertad (físicos) de propagación por punto del espacio-tiempo . Por supuesto, el número total de grados de libertad es infinito porque el espacio-tiempo es continuo y tiene un número infinito de puntos, pero preguntar por el número de grados de libertad por punto en el espacio-tiempo es una demanda razonable. Tenga en cuenta que solo nos importan los grados de libertad físicos, por lo que nos referimos a aquellos que pueden normalizarse adecuadamente.

Usted afirma correctamente que los fotones pueden estar fuera de la cáscara, pero solo están involucrados en procesos internos. Los fotones externos siempre están en la cáscara. Además, la invariancia de calibre es una propiedad física. Los campos externos que mida en su laboratorio deben ser independientes de su calibre elegido. En otras palabras, la matriz S debe ser invariante de calibre. Por otro lado, no hay nada que me impida tener procesos internos de calibre roto si finalmente puedo hacer que la matriz S sea invariante de calibre. Por lo tanto, la palabra "físico" casi siempre debería darle una idea de las cantidades invariantes del calibre externo en la carcasa.

Así que sí, la redundancia de medida elimina un grado de libertad, y cuando hablamos de propagar grados de libertad físicos, uno más se elimina en el caparazón. Tienes que entender cómo sucede eso. No es que cada vez que ves una ecuación de movimiento, se mata un grado de libertad. Eliminar los grados de libertad requiere un proceso elaborado de imposición de restricciones en la ecuación de movimiento conocido como fijación de calibre . Y esto tiene que hacerse caso por caso.

Por ejemplo, considere las cuatro ecuaciones de movimiento (separadas en conjuntos temporales y espaciales) para el fotón sin masa$A^\mu = (\phi, \vec A)$describiendo cuatro grados de libertad en el caparazón de la siguiente manera.

$$\begin{align*} -\Delta \phi + \partial_t \vec\nabla\cdot\vec A = 0\,,\\ \square \vec A - \vec\nabla(\partial_t\phi-\vec\nabla\cdot\vec A) = 0\,.\\ \end{align*}$$

Dado que estas ecuaciones exhiben una simetría de calibre$A_\mu \to A'_\mu := A_\mu + \partial_\mu \alpha_1(x)$, podemos intentar arreglar el indicador eligiendo$\alpha_1$tal que, por ejemplo, es una solución de$\square \alpha_1 = -\vec\nabla\cdot\vec A$, dándonos

$$\begin{align*} \Delta \phi' = 0\,, \\ \square \vec A' - \vec\nabla\partial_t\phi' = 0\,. \\ \\ \vec\nabla\cdot\vec{A}'=0\,.\\ \end{align*}$$

Hemos seleccionado un campo libre de divergencia, el llamado calibre de Coulomb. Bajo esta elección, el potencial eléctrico deja de propagarse, es decir, no hay términos cinéticos en el Lagrangiano para él (obsérvese que$\Delta \phi' = 0$no tiene derivadas temporales).

En el espacio de cantidad de movimiento, esta condición de indicador se lee$\vec p \cdot \vec \epsilon = 0$dónde$\vec \epsilon$es el vector de polarización (transformada de Fourier del potencial magnético). Hay tres soluciones a esta restricción. Elegir un marco en el que$p^\mu = (E,0,0,E)$, encontramos que los tres vectores de polarización son

$$\epsilon^\mu_1 = (0,1,0,0), \qquad \epsilon_2^\mu=(0,0,1,0), \qquad \epsilon_t^\mu = (1,0,0,0)$$

La tercera polarización es similar al tiempo y, por lo tanto, no se puede normalizar. No es físico, y tenemos que deshacernos de él. Afortunadamente, la simetría de calibre no se agota. Hay más opciones disponibles de transformaciones de calibre que conservan el calibre de Coulomb$\vec p \cdot \vec \epsilon = 0$. Por ejemplo, podríamos pasar de$A'_\mu \to A_\mu:= A'_\mu + \partial_\mu \alpha_2(x)$tal que$\Delta \alpha_2 = 0,\ \partial_t \alpha_2 = - \phi'$que preserva la divergencia y establece$\phi = 0$.

Tenga en cuenta que esta vez tenemos que asegurarnos de que esta transformación de calibre ocurra en el caparazón, es decir, que$\Delta \phi = 0$, de lo contrario, esta fijación de calibre será inconsistente porque$\Delta \alpha_2 = 0 \Rightarrow$ $0 = \Delta \partial_t\alpha_2 = - \Delta\phi' \ne 0$fuera de la cáscara. En otras palabras, exigir$\phi = 0$, o equivalente$\epsilon^0 = 0$, para deshacernos de los grados de libertad no físicos requiere que estemos en el caparazón.

Para resumir, hicimos una elección de calibre fuera de la carcasa$\vec p \cdot \vec \epsilon = 0$, una opción de calibre en la carcasa$\epsilon^0 = 0$y nuestra ecuación de movimiento se convirtió en$p^2 = 0$. Habiendo agotado nuestras opciones de calibre, encontramos solo dos modos de polarización física o grados de libertad.

Ahora, entiende que simplemente tener una ecuación de movimiento no consume un grado de libertad. Para encontrar el número correcto de grados de libertad, continúe eligiendo calibres (produciendo ecuaciones de restricción independientes), algunos fuera del armazón y otros dentro del armazón, hasta que agote su libertad de calibre. Luego comprueba cuántos grados de libertad te quedan. Si nota que aparece algún tipo poco físico, lo más probable es que no haya usado toda su libertad de calibre y todavía tiene suficiente flexibilidad para matar a tiros a este tipo. Luego, cuenta todo lo que te queda. Esa es tu respuesta.

Tengo un conocimiento muy limitado sobre esto, pero puedo intentar ofrecer una respuesta parcial.

El 4-potencial$A^\mu$tiene cuatro grados de libertad (dof), pero dos de ellos no son físicos y pueden eliminarse explotando la invariancia del electromagnetismo bajo transformaciones de calibre$A^\mu \rightarrow {A^\prime}^\mu = A^\mu + \partial^{\,\mu} f$. Por ejemplo, podemos tomar$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$mientras$f$satisface$\square\,f=-\partial_\mu A^\mu$:

${A^\prime}^\mu = A^\mu + \partial^{\,\mu} f \Longrightarrow \partial_\mu{A^\prime}^\mu \equiv 0 = \partial_\mu A^\mu + \square\,f \Longrightarrow \square\,f = -\partial_\mu A^\mu$

Condición$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$, conocido como calibre de Lorenz, le da una ecuación relacionada$A_0, A_1, A_2$y$A_3$, por lo tanto quita uno de cada cuatro dof

El último dof no físico se elimina porque todavía queda algo de libertad de calibre por explorar. Para asegurar$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$todo lo que tenemos que hacer es usar una función$f$satisfactorio$\square\,f = -\partial_\mu A^\mu$. Está claro cualquier función.$f_0$satisfactorio$\square\,f_0\equiv 0$se puede agregar a$f$mientras se mantiene$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$intacto. Esta última libertad quita un dof más como podemos tomar${A^{\prime\prime}}^\mu = {A^\prime}^\mu + \partial^{\,\mu} f_0$y elegir una solución adecuada de$\square\,f_0\equiv 0$.

El último párrafo puede entenderse mejor con un ejemplo. En el espacio libre, utilizando el calibre de Lorenz$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$, el 4-potencial satisface$\square\, {A^\prime}^\mu = 0$. Considere la solución para una onda plana que se propaga a lo largo de la$z$eje:${A^\prime}^\mu = \mathcal{A}\, \varepsilon^\mu \cos(kz-\omega t)$, dónde$\mathcal{A}$es la amplitud de la onda,$\omega=|k|$(Estoy usando unidades naturales donde$c\equiv 1$), y$\varepsilon^\mu$es el vector de polarización. Puede comprobar el estado del calibre$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$se cumple para el vector de polarización$\varepsilon^\mu$elegido como$\varepsilon^\mu_{(x)} = (0,1,0,0)$o$\varepsilon^\mu_{(y)} = (0,0,1,0)$, o alguna combinación de estos. Estos corresponden a los dos grados de libertad físicos asociados con las polarizaciones horizontal y vertical.

Para este ejemplo, los dos grados de libertad no físicos están relacionados con los vectores de polarización$\varepsilon^\mu_{(t)} = (1,0,0,0)$y$\varepsilon^\mu_{(z)} = (0,0,0,1)$, correspondientes a las polarizaciones "temporal" y longitudinal, respectivamente. A pesar de${A^\prime}^\mu$con$\varepsilon^\mu = \varepsilon^\mu_{(t)}$o$\varepsilon^\mu = \varepsilon^\mu_{(z)}$satisface la ecuación de movimiento$\square\,{A^\prime}^\mu=0$, no satisfará el calibre de Lorenz$\partial_\mu {A^\prime}^\mu \equiv 0$. Sin embargo, si se toma el vector de polarización como la combinación$\varepsilon^\mu = c_1 \varepsilon^\mu_{(t)} + c_2 \varepsilon^\mu_{(z)}$, para constantes$c_1$y$c_2$, el calibre de Lorenz se satisface una vez que imponemos$c_1 = c_2$. Debido a eso, nos queda solo un dof no físico. Finalmente, eligiendo$f_0$(de los párrafos anteriores) como$\mathcal{A}\,\frac{c_1}{\omega}\sin(kz-\omega t)$, puedes comprobar la solución${A^{\prime\prime}}^\mu = \mathcal{A}\,c_1(\varepsilon^\mu_{(t)}+\varepsilon^\mu_{(z)})\cos(kz-\omega t) + \partial^{\,\mu} f_o$desaparece de manera idéntica, lo que significa que el último dof no físico no se propaga de hecho.

Esto es lo que se entiende por grados de libertad del campo electromagnético: las soluciones de onda plana tienen dos posibles polarizaciones (o combinaciones de las mismas), ambas son espaciales y transversales a la dirección de propagación. En la segunda teoría cuantificada, esto significa el espín uno de los fotones ($s=1$) tiene solo dos orientaciones posibles relativas a su movimiento: paralelo ($m_s=+1$, helicidad positiva) o antiparalelo ($m_s=-1$, helicidad negativa). Tenga en cuenta que esto tiene un significado muy diferente en comparación con la afirmación "las teorías de campo tienen grados de libertad infinitos", que se relaciona con la descripción de un número infinito de puntos en el espacio-tiempo (en oposición a un número finito en la mecánica de partículas).

El único recuento de DOF que se tiene se realiza en el análisis hamiltoniano, es decir, se comienza con un lagrangiano válido (densidad) y se calcula el hamiltoniano (densidad). Si se encuentran restricciones (como los campos de Yang-Mills para un grupo de calibre SU(N)), entonces la fórmula general simplemente devuelve el número neto de campos (que puede tomarse como una parametrización del espacio de fase reducido bajo el Dirac soporte).

Ejemplo : El campo de norma U(1) [electromagnetismo clásico]. El número de campos lagrangianos (DOF) =$4 \times \infty$. El análisis hamiltoniano devuelve 2 restricciones (una primaria, una secundaria, ambas de primera clase), por lo tanto, el verdadero número de grados de libertad del campo de calibre U(1) es$2\times\infty$.

En resumen: el campo de fotones se presenta "convenientemente" como un campo de cuatro vectores, es decir, tiene cuatro grados de libertad en cada punto del espacio (por lo tanto, un número infinito, pero solo dos si solo mira un punto). Un campo real tiene uno, uno complejo dos... (por punto de espacio). La palabra "convenientemente" está relacionada con el problema de la libertad de calibre: diferentes campos de fotones pueden describir la misma situación física.

Libertad de calibre = su teoría es redundante (fijación de calibre = corrija esta redundancia).

Usando la libertad de calibre clásica (no las ecuaciones de movimiento) que conoce desde los cursos básicos, puede reducir los cuatro grados de libertad del fotón a solo dos (por punto espacial).