¿Están definidos los campos escalares hasta las funciones armónicas?

Descargo de responsabilidad: esta pregunta puede ser muy estúpida. Parece que me estoy perdiendo un punto fundamental.

Consideremos un escalar masivo$\pi$

$$\mathcal{L}_\pi = -\frac{1}{2}(\partial \pi)^2 -\frac{m^2}{2}\pi^2 + g \mathcal{L}_{int}(\pi)\,,\qquad\qquad\qquad Eq.(1)$$ dónde $g$es un acoplamiento y $\mathcal{L}_{int}$incluye interacciones no derivadas. El campo $\pi$satisface la ecuación habitual de Klein-Gordon $(\square - m^2) \pi=-g\mathcal{L}'_{int}$donde el potencial actúa como fuente.

Mi pregunta : ¿podemos realizar una redefinición de campo?$\pi(x) \rightarrow \pi(x) + f(x)$dónde$f(x)$es una función armónica exacta (es decir,$\square f(x)=0)$?

Estoy confundido porque, si apagamos las interacciones configurando$g=0$, el campo$f(x)$se comporta como un campo auxiliar. De hecho, el lagrangiano se convierte en

$$\mathcal{L}_{\pi+f} = -\frac{1}{2}(\partial \pi)^2 -\frac{m^2}{2}(\pi(x)+f(x))^2\,,\qquad\qquad\qquad Eq.(2)$$

y las ecuaciones de movimiento para$f(x)$implicar la restricción

$$f(x) = -\pi(x).$$

Ahora, está claro que algo malo está pasando aquí. Esto no puede ser correcto. Comencé con un escalar masivo libre que se propaga y, al hacer una redefinición de campo ( cuestionable ), cambié el polo del propagador en$m^2=0$.

EDITAR v1

Después de la primera respuesta, quiero enfatizar los siguientes puntos.

• Asumiendo que la redefinición de campo que propuse tiene sentido, debería encontrar que las dos teorías Eq.(1) y Eq.(2) son equivalentes. Una pista de tal equivalencia viene dada, por ejemplo, por la posición de los polos de las funciones de correlación calculadas dentro de las dos teorías. Si los polos se encuentran en diferentes masas, entonces las teorías seguramente propagan diferentes grados de libertad.
• Si uno le pide que trabaje con la siguiente función de partición $$Z[J_\pi,J_f] = \int \mathcal{D}\pi \mathcal{D}f e^{iS_{\pi+f} + i \int d^d x J_\pi f(x) + i \int d^d x J_f f(x) }$$ no hay manera de establecer eso$\pi$y$f$son campos dependientes, a menos que calcule la ecuación de movimientos para ambos campos . Tenga en cuenta que no hay forma de decir que$f(x)$es un campo armónico . La ecuación de los movimientos son (en el límite$g=0$)

$$\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial \pi} -\partial_\mu\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial\partial_\mu \pi} = 0 \rightarrow \square\pi = m^2(\pi + f)\,,\qquad \qquad Eq.(3)$$

$$\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial f} -\partial_\mu\frac{\partial S_{\pi+f}}{\partial\partial_\mu f} = 0 \rightarrow f=-\pi\,,\qquad \qquad Eq.(4)$$ y ves que, combinando Eq.(3) y Eq.(4) obtienes

$$\square \pi = 0\qquad\rightarrow\qquad \square f = 0$$

• El punto delicado puede ser que$f(x)$se promueve a un campo restringido y la integración en la integral de trayectoria debe realizarse en un espacio de campo restringido. Dicha información debe ser puesta en el lagrangiano usando un multiplicador de Lagrange$\lambda(x)$. Por ejemplo, si agrego a la ecuación (2) un "término de fijación de calibre" $$\mathcal{L}_{\pi+f} = -\frac{1}{2}(\partial \pi)^2 -\frac{m^2}{2}(\pi(x)+f(x))^2 +\lambda(x) \square f(x)\,,\qquad\qquad Eq.(5)$$ entonces, el multiplicador de lagrange tiene la forma$\square \lambda(x) = m^2(\pi(x) + f(x))$que, puesto de nuevo en la ecuación (5), elimina la dependencia de$f(x)$y recuperamos el lagrangiano original. ¿Es esta la solución?