¿Cuándo podemos manejar un campo cuántico como un campo clásico?

Una manera clara de hacer que el concepto de un campo clásico sea preciso para expresar las cosas en términos de una acción cuántica efectiva: dada una función generadora de funciones de Green conectadas y renormalizadas,$W(J)$, con

$$e^{W(J)} = \int \mathcal{D}\phi\,e^{-I[\phi]+\int d^dx\,J\phi}$$ la acción efectiva cuántica, $\Gamma[\varphi]$, es la transformada de Legendre (cuando existe), $$W(J) = -\Gamma[\varphi]+\int J\varphi, \quad {\rm where}\quad \varphi(J)\equiv \frac{\delta W(J)}{\delta J}.$$ Se supone aquí que $\varphi(J)$se puede invertir (al menos dentro de la teoría de la perturbación) en el sentido de que se puede derivar de ella una expresión explícita para $J(\varphi)$. Entonces debemos suponer que $J(\varphi)$existe y tiene un solo valor. Entonces, la acción efectiva cuántica contiene información exacta sobre la teoría cuántica completa.

Supongamos ahora que$\bar{\varphi}$resuelve las ecuaciones cuánticas completas de movimiento de$\Gamma[\varphi]$, es decir:

$$\frac{\delta \Gamma[\varphi]}{\delta \varphi}\Big|_{\varphi=\bar{\varphi}}=0.$$ Entonces se deduce de la transformada de Legendre anterior que esta solución para la acción efectiva cuántica completa es la función de un punto: $$\frac{\delta W(J)}{\delta J}\Big|_{J=0}=\bar{\varphi}.$$ Todo sería consistente si en nuestra integral de trayectoria original estuviéramos calculando fluctuaciones cuánticas alrededor del fondo corregido cuánticamente completo, es decir, si expandiéramos $\phi=\bar{\varphi}+\tilde{\phi}$e integrado sobre $\tilde{\phi}$en la integral de trayectoria definitoria de $W(J)$. Este es un requisito no trivial, pero se entiende cómo hacerlo.

Entonces la cantidad$\bar{\varphi}$es un campo onshell exacto que minimiza$\Gamma(\varphi)$y$\varphi$es el campo offshell correspondiente que aparece en la acción genérica$\Gamma(\varphi)$. Ahora viene un punto crucial: la información sobre la teoría cuántica completa está contenida en los diagramas de nivel de árbol de$\Gamma(\varphi)$, es decir, en las "ecuaciones clásicas de movimiento" de$\Gamma(\varphi)$. Además, cuando calculas$\Gamma(\varphi)$dentro de la teoría de la perturbación, encontrará que puede reorganizarla en una expansión de bucle (es decir, expansión en$\hbar$, olvídate de las acciones efectivas wilsonianas aquí),

$$\Gamma(\varphi) = \sum_{\ell=0}^{\infty}\Gamma_{\ell}(\varphi),$$ donde $\ell$denota el orden del bucle. Él $\ell=0$suele ser una acción manifiestamente local y el orden superior ( $\ell>0$) los términos son a menudo muy no locales (especialmente en teorías sin masa). (Para las teorías masivas, los términos aparentemente no locales pueden escribirse como una superposición infinita de términos locales, pero esto no es posible para las teorías sin masa. Es esta última expansión la que establece el vínculo con la renormalización wilsoniana, porque aquí esta superposición está organizada en términos de escalas de energía, por lo que todos estos conceptos están íntimamente relacionados.)

Entonces, finalmente podemos responder a su pregunta: cuando el ciclo superior ($\ell>0$) términos en la expansión de$\Gamma(\varphi)$son insignificantes, la dinámica completa es capturada esencialmente por las ecuaciones clásicas de movimiento del$\ell=0$término,$\Gamma_0(\varphi)$. Es esta cantidad la que se suele identificar con la dinámica del campo clásico.$\varphi$, y, por ejemplo, en el contexto de la inflación$\varphi$(o, en la concha$\bar{\varphi}$) sería el inflatón. Para el orden líder, a menudo ocurre que$\Gamma_0(\varphi)$coincide con la acción desnuda$I(\phi)$(en forma) cuando este último se trata clásicamente. Es por esto que podemos considerar los campos clásicos y su dinámica clásica, y esto tiene su origen en la teoría cuántica completa. Sin embargo, a menudo sucede que en la literatura la gente no distingue entre$\Gamma_0(\varphi)$y$I(\phi)$, y esto es lo que causa toda la confusión que tiene mucha gente. Al menos este es mi entendimiento.

Al abordar el comentario de @AlQuemist sobre una respuesta física, me gustaría mencionar el concepto de inestabilidad de campo medio (donde$\bar{\varphi}$de la publicación de @Wakabaloola sería el campo medio). Como ilustración, considere la siguiente acción modelo (compleja):

$$S = \int \mathrm{d}t\; \left\{\sum_{\alpha=1,2}\left[ \phi_{\alpha}^{*}i\partial_t\phi_{\alpha}^{} - \tfrac{U}{2} \left| \phi_{\alpha}^{}\right|^{4} \right] -J(\phi_{1}^{*} \phi_{2}^{} + \phi_{2}^{*} \phi_{1}^{}) \right\}.$$

Esto podría, por ejemplo, describir átomos fríos en un potencial de doble pozo, con un acoplamiento coherente$J$y una interacción de contacto$U$. Siguiendo el procedimiento esbozado por @Wakabaloola, es decir, calculando

$$\left.\frac{\delta \Gamma[\phi_\alpha, \phi_\alpha^*]}{\delta\phi_\alpha^*}\right|_{\phi_\alpha=\Phi_\alpha,\; \phi_\alpha^*=\Phi_\alpha^*}=0,$$

uno puede derivar dos llamadas ecuaciones de Gross-Pitaevskii

$$\begin{align} \begin{split} i\partial_ t \Phi_{1}^{} &= J \Phi_{2}^{} + U \left| \Phi_{1}^{}\right|^{2} \Phi_{1}^{}, \\ i\partial_ t \Phi_{2}^{} &= J \Phi_{1}^{} + U \left| \Phi_{2}^{}\right|^{2} \Phi_{2}^{}, \end{split} \end{align}$$ que son las ecuaciones de movimiento "clásicas" en el sentido discutido anteriormente ( $\bar{\varphi} \equiv \Phi_\alpha$). Establecer los campos medios complejos en $\Phi_{\alpha}^{} = \sqrt[]{N_{\alpha}}e^{i\theta_{\alpha}}$, estos son equivalentes a

$$\begin{align} \begin{split} \dot{z} &= 2J\,\sqrt[]{1-z^2}\sin{\theta}, \\ \dot{\theta} &= NUz - 2J\frac{z }{\sqrt[]{1-z^2}}\cos{\theta}, \end{split} \end{align}$$ donde $N = N_1+N_2 = \mathrm{const.}, z = (N_1 - N_2)/N, \theta = \theta_2 - \theta_1$. Véase también la referencia [1], donde dan la analogía de un péndulo no rígido clásico descrito por estas dos ecuaciones.

Ahora queremos abordar la cuestión de la estabilidad de este campo medio buscando los puntos fijos de estas ecuaciones. Evidentemente, un conjunto de puntos fijos viene dado por$(z^*,\theta^*) = (0, n\pi)$, donde$n$indica múltiplos de$\pi$y el asterisco significa el punto fijo ($z$y$\theta$Son reales). Limitémonos al punto específico.$(z^*,\theta^*) = (0, \pi)$[2]. El jacobiano de las dos ecuaciones evaluadas en este punto es

$$\begin{align} \mathcal{J}(0, \pi) = \begin{pmatrix} 0 & 2J\\ NU - 2J & 0 \end{pmatrix}, \end{align}$$ que tiene valores propios

$$\begin{align} \lambda = \begin{cases} \pm \, 2Ji\,\sqrt[]{|\Lambda-1|},\quad \Lambda < 1, \\ \pm \,2J\,\sqrt[]{\Lambda-1},\quad \Lambda > 1. \end{cases} \end{align}$$

hemos definido$\Lambda = NU/2J$. Para$\Lambda > 1$, los valores propios son evidentemente reales, lo que significa que tenemos el llamado punto fijo hiperbólico . El punto crucial ahora es este: siempre que estemos en la vecindad de un punto fijo inestable ($\mathrm{Re}\,\lambda > 0$), se sabe que la descripción del campo medio falla por completo. Uno puede probar esto, por ejemplo, al incluir fluctuaciones en la descripción, que resultan ser grandes precisamente bajo esta condición. Conectando con la publicación de @Wakabaloola, aquí es donde uno tendría que tener en cuenta las contribuciones más altas en$\hbar$con$l>0$.

Lo que hemos descrito es una inestabilidad dinámica para un sistema que tiene la analogía clásica de un péndulo. La imagen física que emerge es simple: el punto$(0, \pi)$es como aquella en la que el péndulo está "al revés". Es importante destacar que la no linealidad proveniente de la interacción es responsable de la existencia de este punto fijo. Para interacciones "pequeñas" ($\Lambda < 1$), la no linealidad estabiliza este punto y se obtienen oscilaciones estables no triviales que están razonablemente bien descritas por el campo medio. Cuando la interacción se vuelve más grande ($\Lambda > 1$), la estabilidad se rompe y las fluctuaciones (cuánticas) se vuelven relevantes. Intuitivamente, esto tiene que ver con el hecho de que dentro del régimen inestable, la más mínima perturbación puede hacer que el péndulo se vuelque en una dirección arbitraria ("rotura de simetría espontánea"). Para poder predecir esta dirección, habría que saber "todo" sobre la aleatoriedad que entra a través de las fluctuaciones cuánticas. Siempre que las fluctuaciones son dominantes, uno está en el régimen "no perturbativo", donde solo se pueden emplear técnicas de resumen altamente sofisticadas que involucran una cantidad infinita de diagramas (en el mejor de los casos).

[1] Smerzi, A., Fantoni, S., Giovanazzi, S. y Shenoy, SR, 1997. Túneles atómicos coherentes cuánticos entre dos condensados ​​Bose-Einstein atrapados. Cartas de Revisión Física, 79(25), p.4950.

[2] Vardi, A. y Anglin, JR, 2001. Bose-Einstein condensa más allá de la teoría del campo medio: reacción inversa cuántica como decoherencia. Cartas de Revisión Física, 86(4), p.568.