Interpretación del significado físico de los modos normales

En un modo normal, todas las partes del sistema oscilan con una sola frecuencia. Si escribimos las posiciones de los objetos como un vector columna$X$, las ecuaciones diferenciales acopladas (linealizadas, no amortiguadas y no accionadas) pueden, en general, escribirse como

$$\ddot{X} = MX$$ dónde$M$representa los coeficientes. Para resolver los modos normales, debemos suponer que la frecuencia es$\omega$, por lo que sustituimos$X = Ae^{i\omega t}$Llegar $$-\omega^2 A = MA$$ que es el problema de valores propios que buscábamos. Por lo tanto, podemos ver que los valores propios$-\omega^2$representan las frecuencias puras de los modos normales, mientras que los vectores propios$A$representan las amplitudes relativas de cada objeto.

Esto es completamente análogo a la ecuación diferencial ordinaria$\ddot{x} = -\omega^2 x$para un solo oscilador. La solución general es entonces una combinación lineal de los modos normales.

Imagine una cadena hecha de una línea de resortes con cierta masa$m$situado entre cada resorte y el siguiente.

Ahora suponga que hace tambalear este sistema en un movimiento tambaleante complicado (no en un modo normal). Todas las masas se moverán hacia arriba y hacia abajo en diferentes cantidades y en algún movimiento complicado. Si pudiera escuchar las ondas de sonido producidas por el movimiento, sonaría como un ruido.

Suponga ahora que, en cambio, organiza cuidadosamente que una de las masas suba y baje de forma estrictamente periódica: sólo una frecuencia, sólo una 'nota' si pudiera oírla. Las masas adyacentes también captarán este movimiento, y luego las adyacentes, etc. El movimiento en todo el sistema seguirá siendo complicado por un tiempo, pero eventualmente puede establecerse en un patrón en el que todas las masas suban y bajen al mismo tiempo. la misma frecuencia No tienen que estar en fase: algunos pueden estar subiendo y otros bajando, pero esta diferencia de fase será constante en el tiempo. Además, no tienen por qué tener la misma amplitud: algunos pueden subir y bajar más que otros. Si observaras el sistema, sería como si tuviera una onda estacionaria, con todos los movimientos teniendo exactamente la misma frecuencia, repitiéndose una y otra vez.

Este tipo de movimiento se denomina "modo de oscilación" o simplemente "modo" para abreviar. Si, en ausencia de amortiguamiento, no necesita proporcionar una fuerza externa porque el sistema simplemente continúa oscilando a una sola frecuencia en todo momento, entonces se denomina "modo normal".

Para cualquier conjunto dado de resortes y masas, el movimiento de modo normal solo puede tener lugar en un conjunto discreto de frecuencias (esto es lo que le dicen los valores propios). Y cada modo normal tiene su propia forma característica de desplazamientos a lo largo del sistema (esto es lo que te dicen los vectores propios).

Hablé sobre resortes y masas, pero el concepto es más general y tiene una aplicación bastante extendida en la física, prácticamente siempre que algo sea más complicado que una sola partícula y pueda sufrir algún tipo de movimiento oscilatorio.

Después de pasar por esta pregunta mía recientemente, pensé que debería darle una respuesta ya que ahora puedo hacerlo.

Los modos normales son un concepto bastante hermoso, @Andrew Steane casi me lo responde, pero básicamente tienes este movimiento súper complicado, o podría ser una ola, pero la idea es que es algo realmente complejo y complicado, y la premisa es en realidad puedes recrear este movimiento usando superposiciones de movimientos realmente simples.

De hecho, si estamos hablando, por ejemplo, de un oscilador acoplado 1-D, que puede generar movimientos bastante complejos para analizar, puede dividirlo en dos movimientos simples , y el movimiento complejo será una especie de superposición de estos. dos movimientos simples. Estos dos movimientos simples se denominan modos normales.

La idea es exactamente la misma con los vectores, puedes representar cualquier vector, por complicado que sea, con los vectores base. Los modos normales funcionan como vectores base (de hecho, si están correctamente normalizados, son lo mismo); puede resumirlos para recrear el movimiento súper complicado que está ocurriendo.

La visualización de agregar movimientos simples que finalmente dan el movimiento real no es algo fácil de imaginar, pero para convencerme de que los movimientos en realidad se pueden resumir, me gusta pensar en dos movimientos simples, por ejemplo, un oscilador 1-D que vibra con un cierto frecuencia (en cierta dirección, más o menos) y el otro movimiento simple sería el mismo oscilador 1-D vibrando con la misma frecuencia pero con una diferencia de fase de$\pi$(en otras palabras, está vibrando en la dirección opuesta del primer movimiento, más o menos). Tiene sentido que si sumamos estos dos movimientos simples (con la misma cantidad de contribución de cada movimiento), el efecto general sería que el oscilador 1-D estaría en reposo, ya que los movimientos simples se anulan entre sí. Entonces tiene sentido que podamos generar otros movimientos sumando otros movimientos.

Espero que mi respuesta pueda ayudarlo a comprender la intuición detrás de los modos normales, algo que en ese entonces era algo difícil de entender para mí.