Considere que tenemos un sistema que consta de 2 masas arbitrarias y 3 resortes arbitrarios que los conectan horizontalmente y entre paredes fijas, y queremos obtener el movimiento de cada masa después de ingresar algunas condiciones iniciales (pero sin fuerza impulsora).
Después de resolver las dos ecuaciones diferenciales acopladas que surgieron de la situación, obtenemos que sin importar las condiciones iniciales que tengamos, el movimiento caótico de cada masa se describe simplemente por una combinación lineal de los dos modos normales, con dos frecuencias diferentes (la normal los modos resultan ser sinusoidales porque la fuerza de restauración es lineal, lo que hace que las ODE sean lineales, supongo).
Pero a pesar de que puedo entender y seguir todos los pasos matemáticos para derivar tal conclusión, todavía me falta una comprensión profunda e intuición de por qué se mantiene el resultado.
Entonces, tengo dos preguntas:
1 - ¿Alguien puede ver intuitivamente por qué podemos descomponer un movimiento tan caótico en una combinación lineal simple?
¿Tiene esto algo que ver con la base ortogonal de los espacios de funciones (espacio vectorial de funciones)? Estoy buscando una idea matemática o física clara y simple que nos permita entender eso.
2 - Teniendo en cuenta la pregunta anterior tiene sentido, ¿es cierto que el hecho de que la base ortogonal sea la coseno/seno se debe a que las fuerzas de restauración son lineales (y por lo tanto solo la base coseno/seno lo satisface)?
Muchas gracias por adelantado.
Porque (como dices) la EDO es lineal tenemos que si son todas soluciones válidas entonces también lo es
Usamos las funciones seno y coseno para nuestra descomposición porque forman una base ortonormal para la solución de la EDO en cuestión. Si estuviéramos resolviendo una ODE diferente (todavía lineal), entonces podríamos necesitar un conjunto diferente de funciones. En particular, sabemos que las funciones seno y coseno forman una base ortonormal para las funciones periódicas (por la serie de Fourier), por lo que cualquier EDO (lineal) para la que haya soluciones periódicas que formen una base ON puede tener sus soluciones expresadas como modos normales sinusoidales.
Entonces tienes tus dos modos normales, uno es una suma, el otro es una diferencia, y ambos cambian en el tiempo. Si la suma es cero, tienes una diferencia y si la diferencia es cero, tienes una suma... cualquier tipo de movimiento puede representarse mezclando una cantidad de suma y una cantidad de diferencia... en cualquier posición tienes una suma de dos amplitudes y una diferencia y cambiarán en un momento siguiente y ciertamente definen la posición de dos masas en algún instante. Así lo visualizo yo.
nerd