Confusión sobre la transformación de dualidad en el modelo Ising 1+1D en un campo transversal

Esta es una muy buena pregunta. El mismo álgebra de operadores no implica que$H(J,h)$y$H(h,J)$tienen el mismo espectro. Como se mencionó en la respuesta de Dominic, incluso la degeneración del estado fundamental es diferente bajo el intercambio de$J$y$h$($J\gg h$: degeneración doble con ruptura de simetría, y$J\ll h$estado fundamental único), por lo tanto, es imposible establecer un mapeo uno a uno entre los estados propios de$H(J,h)$y$H(h,J)$. Hay que tener en cuenta que la transformación de dualidad solo conserva la dinámica local pero se perderán las propiedades globales (topológicas) . Esta afirmación se vuelve más nítida en dimensiones superiores. Como en 2D, el$\mathbb{Z}_2$La teoría de la red de calibre es dual al modelo cuántico de Ising, sin embargo, el orden topológico de la teoría de calibre (más prominentemente, la degeneración del estado fundamental dependiente de la topología) se pierde por completo en el modelo dual de Ising, a pesar de que existe una hermosa correspondencia entre sus excitaciones locales. (por ejemplo, carga y visión).

Sin embargo, la dualidad sigue siendo muy útil si nos centramos únicamente en las excitaciones locales. Muchos problemas importantes como la dinámica de baja energía, las transiciones de fase y la criticidad solo están relacionados con excitaciones locales, entonces la transformación de dualidad puede ayudarnos mucho a comprender estas cosas.

Para apreciar la dualidad en el modelo de Ising de campo transversal 1D, es mejor mirar localmente y tratar de averiguar la correspondencia local de las excitaciones a granel, sin preocuparse demasiado por las propiedades globales, como las condiciones de contorno, las cuerdas infinitas, el estado fundamental. degeneración, etc. La idea de la dualidad es realmente simple: uno puede describir una cadena Ising 1D ya sea por las variables de espín que viven en cada sitio, o por las variables de torcedura que viven en cada enlace. Una torcedura en la cadena de giro es un eslabón a través del cual los giros de Ising son opuestos. Entonces cada enlace$l$sólo puede tener dos estados posibles:

$$\tau_l^z=\left\{\begin{array}{cc}+1 & \text{unkinked,}\\ -1 & \text{kinked,}\end{array}\right.$$

Si hemos especificado toda la configuración de kink$\tau_l^z$en cada enlace$l$, en realidad podemos determinar la configuración de espín$\sigma_i^z$en cada sitio$i$, con solo un conocimiento adicional sobre el giro más a la izquierda$\sigma_0^z$. El truco consiste en acumular las configuraciones de torceduras desde la izquierda hasta la derecha,

$$\sigma_i^z=\sigma_0^z\prod_{0<l<i}\tau_l^z.$$ Entonces, la configuración de giro está determinada únicamente por la configuración de torcedura (hasta el giro más a la izquierda). Si contamos el número de estados en el espacio de Hilbert, la dimensión del espacio de Hilbert será $2^{N_\text{site}}$en el lenguaje spin y $2^{N_\text{link}}$en el lenguaje kink, donde $N_\text{site}$y $N_\text{link}$son el número de sitios y enlaces respectivamente, que son iguales (aparte del sitio más a la izquierda) en la red 1D, por lo que la dimensión del espacio de Hilbert es en realidad la misma en ambos idiomas. En este sentido, podemos decir que la correspondencia entre las descripciones de spin y kink es casi uno a uno (especialmente en el límite termodinámico), aunque podría haber alguna complicación derivada del límite más a la izquierda (que sin embargo es ser ignorado en la transformación de la dualidad, ya que la dualidad solo se preocupa por las propiedades locales).

Ahora podemos reformular el modelo de Ising de campo transversal original

$$H=-J\sum_{i}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z-h\sum_{i}\sigma_i^x,$$ en el lenguaje torcido. No es difícil ver que el acoplamiento entre los giros de Ising es solo el potencial químico para la torcedura. $$-J\sum_{i}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z=-J\sum_l\tau_l^z,$$ que básicamente se deriva del significado físico de la variable kink $\tau_l^z$. Es cierto que esta igualdad puede tener algunos problemas en el límite, donde pueden faltar algunos sitios o enlaces, pero no afectan las propiedades locales en su mayor parte, por lo que simplemente los ignoramos. La traducción del término de campo transversal es más complicada. En el lenguaje de giro $\sigma_i^x$el operador simplemente gira el giro en el sitio $i$, lo que correspondería a la creación o aniquilación simultánea de dos enlaces en los enlaces adyacentes a ese sitio, o mover un enlace existente a través del sitio.

En cualquier caso, dar la vuelta a un giro correspondería a cambiar simultáneamente las variables de torcedura$\tau^z$en enlaces adyacentes, que pueden ser realizados por$\tau^x_l\tau^x_{l+1}$, S t

$$-h\sum_i\sigma_i^x=-h\sum_{l}\tau^x_l\tau^x_{l+1}.$$ Evidentemente la relación entre $\tau^x$y $\tau^z$es exactamente igual a nuestro familiar $2\times 2$Matrices de Pauli $\sigma^x$y $\sigma^z$, S t $\tau^x|\tau^z=+1\rangle=|\tau^z=-1\rangle$y $\tau^x|\tau^z=-1\rangle=|\tau^z=+1\rangle$, y las relaciones algebraicas como $\{\tau^x,\tau^z\}=0$son solo consecuencias que siguen. Como ha señalado el OP, las relaciones algebraicas no pueden garantizar que la representación sea fundamental, en realidad es la imagen física anterior la que garantiza la representación de los operadores de torcedura.

Juntando los resultados anteriores, llegamos al hamiltoniano en términos de los operadores de torcedura$\tau_l^x$y$\tau_l^z$

$$H=-h\sum_{l}\tau^x_l\tau^x_{l+1}-J\sum_l\tau_l^z.$$ Uno podría haberse estado preguntando por un tiempo por qué seguí usando el símbolo $\tau$en vez de $\mu$en la publicación original. Ahora está claro que $\tau$todavía está a un paso de $\mu$por una transformación de base en cada vínculo que redefine $\tau^x=\mu^z$y $\tau^z=\mu^x$(reetiquetado $x\leftrightarrow z$). Tal transformada unitaria no cambiará ninguna física, sino solo para recuperar la forma estándar del modelo de Ising de campo transversal para lograr la transformada de dualidad, $$H=-h\sum_{l}\mu^z_l\mu^z_{l+1}-J\sum_l\mu_l^x.$$ Entonces la dualidad entre $J$y $h$ahora se manifiesta, pero ¿cuál es el significado físico de $\mu_l^z$¿Por supuesto? Para responder a esta pregunta, primero se debe entender que la relación entre $\tau^z$y $\tau^x$es igual que entre la coordenada y el momento. Están relacionados por un $\mathbb{Z}_2$versión de la transformación de Fourier. Si tratamos los dos estados de $|\tau^z=\pm 1\rangle$como estados propios de dos posiciones en un sistema de dos sitios, entonces el $\tau^x$estados propios $|\tau^z=+1\rangle\pm|\tau^z=-1\rangle$no son más que estados propios del impulso con el impulso = $0$y $\pi$respectivamente. En este sentido, podemos decir $\mu_l^z\equiv\tau_l^x$es el momento conjugado de la variable de torsión $\tau_l^z$en cada enlace. De hecho, este concepto es tan importante que la gente inventa un nombre para $\mu^z$, es decir, la variable vison , st $$\mu_l^z=\left\{\begin{array}{cc}+1 & \text{vison off,}\\ -1 & \text{vison on.}\end{array}\right.$$ Al decir que el vison es el momento conjugado de la torcedura, queremos decir que si hay un vison sentado en un enlace, las configuraciones torcidas y no torcidas a través de ese enlace se diferenciarán por un signo menos en la función de onda. A diferencia del kink, que es solo otra forma de codificar la configuración de espín, la visión no tiene una configuración de espín correspondiente. De hecho, la configuración de vison está codificada en el signo relativo entre diferentes configuraciones de espín en la función de onda. Representa la interrelación entre las configuraciones de espín distintas de cualquier configuración de espín particular en sí misma o, en otras palabras, el entrelazamiento cuántico en la función de onda de espín.

Matemáticamente, esto se puede ver por el hecho de que el operador vison$\mu_l^z$no es local en términos del operador de espín

$$\mu_l^z=\prod_{i<l}\sigma_i^x=\tau_l^x,$$ que voltea todos los giros a su izquierda para crear (o aniquilar) una torcedura. Ahora discutamos más sobre esta cadena infinita de $\sigma^x$estirando todo el camino hacia la izquierda. Una primera pregunta es si podemos "calibrar" esta cuerda a la derecha. Esto se puede hacer aplicando el operador $S\equiv\prod_i\sigma_i^x$, como $$\mu_l^z\to S\mu_l^z= \prod_{i}\sigma_i^x\prod_{i<l}\sigma_i^x = \prod_{i>l}\sigma_i^x.$$ Uno puede ver al operador $S$simplemente invierte todos los giros en el sistema, lo que significa que en realidad implementa la transformación de simetría de Ising global a los giros $\sigma_i^z\to-\sigma_i^z$. Porque $S$es una simetría del hamiltoniano (como $[S,H]=0$), los estados propios de $H$se escupen en el par ( $S=+1$) y los impares ( $S=-1$) sectores. En el sector par, podemos calibrar la cuerda a la derecha; mientras que en el sector impar, medir la cuerda a la derecha inducirá un $\mathbb{Z}_2$calibre transformación de la visión $\mu_l^z\to-\mu_l^z$. Entonces, combinado con la transformación de calibre de la visión, la cadena de visión puede volverse invisible. Entonces, ¿cuál es el significado de esta cadena vison? Recordar que $\mu_l^z=\tau_l^x$es también el operador de creación/aniquilación de the kink. Así que aplicando una cadena de $\sigma^x$los operadores en realidad crearán dos torceduras en ambos extremos de la cadena $$\tau_{l_1}^x\tau_{l_2}^x=\prod_{l_1<i<l_2}\sigma_i^x.$$ El kink es una excitación local del sistema (en el $J>h$fase), por lo que puede verse como una partícula. Desde esta perspectiva, podemos ver partículas emergentes en los extremos de la cuerda, que es exactamente uno de los temas centrales del modelo de Levin-Wen y la condensación de red de cuerda.

De hecho, existe una relación muy interesante entre el modelo Ising de campo transversal 1D y el modelo Levin-Wen 2D (con$\mathbb{Z}_2$orden topológico), que el primero puede considerarse como una dislocación sintética del segundo por cualquier condensación, que se describió en un artículo ( arXiv: 1208.4109 ) que escribí con mi amigo Chao-Ming y el Prof. Wen. Básicamente mostramos que el modelo Ising de campo transversal 1D puede surgir en el modelo 2D$\mathbb{Z}_2$sistema ordenado topológico como algún tipo de defecto de línea, donde algún tipo particular de cadenas entre los aniones en 2D se degradará naturalmente a las cadenas vison a lo largo de la cadena Ising 1D emergente. Entonces, en este sentido, la cuerda invisible en el modelo de Ising es realmente la misma cuerda invisible en el condensado de red de cuerdas (pero confinada al sistema 1D).

1) En general, un álgebra puede tener muchas representaciones. En este caso, sin embargo, si se supone que existe un estado propio único conjunto +1 del $\sigma_i$'s, que determina la representación de forma única. [Todos los demás estados se pueden encontrar a partir de este estado aplicando productos de$\sigma_i^x$lo. Y de la anticomunión de$\sigma_i^x$y$\sigma_i^z$sabes que aplicar$\sigma_i^x$a un estado debe invertir el signo del valor propio de$\sigma_i^z$]. Y como puedes comprobar fácilmente, tanto el$\sigma_i^z$y el$\mu_i^z$tienen, de hecho, un único estado propio conjunto +1, por lo que el espacio de Hilbert tiene la misma estructura y hay una transformación unitaria entre las dos representaciones.

¿Por qué, entonces, la naturaleza paradójica de muchos a uno de la transformación que usted destaca en la pregunta 2)? El problema es que estás considerando un sistema infinito. El espacio de Hilbert de un sistema infinito no está realmente bien definido (¡tendría una dimensión incontable!) Es mucho mejor considerar un sistema finito. Entonces tienes que especificar las condiciones de contorno. La elección más natural son las condiciones de contorno periódicas, es decir, identificar espines 1 y espines N+1. Pero eso lleva a cierta incomodidad con respecto a cómo definir la transformación de dualidad: ¿cómo se manejan las cuerdas de$\sigma^x$'s que se supone que van al infinito en la definición de$\mu^z$? Hay formas de hacer que funcione, pero terminas teniendo que considerar dos sectores diferentes del espacio de Hilbert por separado y es un desastre.

Entonces, en lugar de eso, hagamos condiciones de contorno abiertas, solo mantengamos los extremos de la cadena separados y dejemos los términos de interacción en el hamiltoniano.$\sigma_0^z \sigma_1^z$y$\sigma_N^z \sigma_{N+1}^z$eso uniría los extremos de la cadena a algo que no está allí. Entonces podemos dejar la transformación de la dualidad más o menos como está, con la excepción de$\mu_N^x = \sigma_N^z \sigma_{N+1}^z$. Eso no funciona porque no hay giro (N+1)-ésimo. En su lugar, definamos$\mu^x_N= \sigma_N^z$. Puedes comprobar que esto no afecta al álgebra. Sin embargo, resuelve el problema que estaba planteando sobre las asignaciones de muchos a uno. Considere, como en la pregunta, el estado $|\rightarrow \rangle_{\mu}$. Entonces el único estado al que corresponde en el$\sigma$la representacion es$|\uparrow\uparrow\rangle_{\sigma}$. El estado$|\downarrow \downarrow \rangle_{\sigma}$, por otro lado, en contraste con el ingenuo análisis de sistemas infinitos) ahora satisface$\mu^x_N = -1$, por lo que no es lo mismo que$|\rightarrow \rangle_{\mu}$.

Entonces, en conclusión, la no unitaridad que estabas viendo era simplemente una manifestación del hecho de que el sistema infinito no está bien definido. En cambio, mirar un sistema finito resuelve las dificultades.

Hay otra forma interesante de ver este problema: H(J,h) tiene dos estados fundamentales degenerados cuando$J \gg h$(ruptura de simetría espontánea) y sólo un estado fundamental cuando$h\gg J$. Por lo tanto, era inevitable que un intento de crear un mapeo exacto que intercambie J y h tuviera dificultades. La razón por la que todo funciona una vez que vamos a un sistema finito con condiciones de contorno como las descritas se deja como ejercicio para el lector.