Es importante tener en cuenta que hay dos condiciones de contorno diferentes, la primera es la condición de contorno para el modelo de espín real, la segunda es para el modelo de fermiones. De hecho, para un modelo de espín real con una determinada condición límite, puede haber diferentes condiciones límite correspondientes para el operador fermión. Cuando hacemos una simulación en la realidad, debemos tratar con cuidado este "problema de las condiciones de contorno".

Transformación de Jordan-Wigher

Para un modelo Ising con spin-$\frac{1}{2}$, podemos asignarlo a un modelo de fermión sin espín a través de la transformación de Jordan-Wigher:

$$\sigma_i^z=1-c_i^\dagger c_i$$ lo que significa que asignamos el estado de rotación al estado vacío y mapeamos el estado de rotación al estado ocupado: $$|\uparrow\rangle \longmapsto |0\rangle\\|\downarrow\rangle \longmapsto |1\rangle$$ Hablando ingenuamente, podemos unificar el operador de creación y aniquilación para fermión con el operador de escalera para espín:$c_i^\dagger\sim \sigma_i^-$,$c_i\sim \sigma_i^+$. Sin embargo, el operador de fermión sigue la relación de anticomunicación y el operador de espín se comporta como un bosón de núcleo duro, que sigue la relación de comunicación. Para unificar estas dos relaciones de comunicación diferentes, necesitamos introducir una cadena adicional: $$\sigma_i^+=P_{i-1}c_i\\\sigma_i^-=P_{i-1}c_i^\dagger$$ dónde$P_{i}$es el llamado operador de cadena, que se define como $$P_{i}\prod_{j=1}^i(1-c_j^\dagger c_j)$$ . El efecto del operador de cadena es medir la paridad, par o impar, del número de fermiones que se encuentran en el lado izquierdo de i-site.

Para simplificar, rotaremos el eje:

$$\sigma_z \longmapsto \sigma_x\\\sigma_x \longmapsto -\sigma_z$$

Condición de frontera abierta (OBC)

Para el sistema de espín real, es decir, el modelo de Ising, con condición de frontera abierta:

$$H_I=-J\sum_{i=1}^N g\sigma_i^x-J\sum_i^{N-1}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z$$ podemos volver a expresarlo a través del operador fermion: $$H_I=-Jg\sum_{i=1}^N (1-2c_i^\dagger c_i)-J\sum_i^{N-1}P_{i-1}(c_i^\dagger+c_i)P_i(c_{i+1}^\dagger+c_{i+1}) \\=-Jg\sum_{i=1}^N (1-2c_i^\dagger c_i)-J\sum_i^{N-1}P_{i-1}(c_i^\dagger+c_i)P_{i-1}(1-2n_i)(c_{i+1}^\dagger+c_{i+1}) \\=-Jg\sum_{i=1}^N (1-2c_i^\dagger c_i)-J\sum_i^{N-1}(c_i^\dagger+c_i)(1-2n_i)(c_{i+1}^\dagger+c_{i+1}) \\=-Jg\sum_{i=1}^N (1-2c_i^\dagger c_i)-J\sum_i^{N-1}(c_i^\dagger-c_i)(c_{i+1}^\dagger+c_{i+1})$$

Podemos encontrar que el OBC del modelo de espín real será consistente con el OBC del modelo de fermiones sin espín después de la transformación de Jordan-Wigher.

Condición de contorno periódica (PBC)

Para el sistema de espín real, es decir, el modelo de Ising, con condición de frontera periódica :

$$\sigma_{N+1}=\sigma_1$$ hay un término adicional: $$-J\sigma_N^z\sigma_{N+1}^z \\=-J\sigma_N^z\sigma_{1}^z \\=-JP_{N-1}(c_N^{\dagger}+c_N)(c_1^{\dagger}+c_1) \\=-JP_{N}(c_N^{\dagger}-c_N)(c_1^{\dagger}+c_1)$$ el$P_N$El operador mide la paridad del número de fermiones en todo el sistema. Es importante señalar que para todo el sistema con número impar de fermiones,$P_N=1$, podemos unificar este término adicional a la expresión normal del modelo de fermiones a través de$c^\dagger_{N+1}=c_i^\dagger$, lo que significa el PBC para el modelo de fermiones. Por otro lado, para todo el sistema con número par de fermiones,$P_N=-1$, podemos unificar este término adicional a la expresión normal del modelo de fermiones a través de$c^\dagger_{N+1}=-c_i^\dagger$, lo que significa el APBC para el modelo de fermiones. Como resultado, para el sistema de espín real con condición de frontera periódica, la condición de frontera periódica correspondiente del modelo de fermión tiene dos situaciones: - PBC: si el número total de fermiones es impar, el fermión sin espín sigue a PBC. El efecto de PBC limitará el valor del impulso. Es decir, después de la transformación de Fourier,$c_{k}=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=1}^{N} c_{j} \exp (-i k j)$, dónde$k=2 \pi n / N$, el PBC restringe$n$solo puede ser entero. - APBC: si el número total de fermiones es par, el fermión sin espín sigue a APBC. que restringe$n$solo puede ser medio entero.

Como resultado, el hamiltoniano del fermión sin espín se puede escribir en el espacio de momento:

$$H=J \sum_{k}\left[2(g-\cos k) c_{k}^{\dagger} c_{k}+i \sin k\left(c_{-k}^{\dagger} c_{k}^{\dagger}+c_{-k} c_{k}\right)-g\right]$$ donde el valor de$k$depende de la condición de contorno.

Después de la transformación de Bogoliubov:

$$\gamma_{k}=u_{k} c_{k}-i v_{k} c_{-k}^{\dagger}$$ podemos obtener el hamiltoniano diagonal final: $$H_{I}=\sum_{k} \varepsilon_{k}\left(\gamma_{k}^{\dagger} \gamma_{k}-1 / 2\right)$$ donde la dispersión es: $$\varepsilon_{k}=2 J\left(1+g^{2}-2 g \cos k\right)^{1 / 2}$$

Condición de frontera unificadora

Ahora, surgirá una contradicción. Para una verdadera vuelta-$\frac{1}{2}$modelo con PBC, asumiendo que hay$N$sitios, el número de estado es$2^N$. Sin embargo, para el fermión sin espín con ciertas condiciones de contorno,$k$tener$N$valores, por lo tanto, hay totalmente$2^N$estados para una determinada condición de contorno. En otras palabras, si consideramos dos condiciones de contorno, es decir, PBC y APBC para el modelo de fermiones, hay$2\times2^N$estados, lo que significa que la mitad de ellos son redundantes.

De hecho, no todos los estados que se calculan a partir del modelo de fermiones para una determinada condición límite son físicos, solo necesitamos tomar los estados con el número de fermiones correcto. Por ejemplo, cuando elegimos$k=2 \pi n / N, n\in Z$, que satisface el PBC, el número total de fermiones debe ser impar, por lo tanto, debemos omitir todos los estados con un número par de fermiones. Como resultado, para cada condición de contorno, solo necesitamos tomar la mitad de ellas.

Hasta ahora, hemos discutido cómo lidiar con el problema de la condición de contorno para el modelo de espín real con PBC. Para el modelo de espín real con APBC, los métodos son similares.