Interpretación de los estados de la ecuación de Dirac

Question

Interpretación de los estados de la ecuación de Dirac

Física
función de onda
ecuación de dirac

Ruslán

En la teoría de Pauli, los componentes de la función de onda de dos componentes se interpretaron como amplitudes de probabilidad de encontrar la partícula en un estado de espín particular. Esto parece fácil de entender.

Pero cuando hablamos de la ecuación de Dirac, tenemos una función de onda de cuatro componentes, dos de los cuales corresponden a los componentes de espín habituales del electrón de Pauli, y otros dos... ¿Cómo interpreto los componentes relacionados con los positrones del electrón de Dirac? ¿Son amplitudes de probabilidad para que la partícula parezca ser un positrón? ¿ O tal vez para parecer no ser positrón (teniendo en cuenta la imagen del mar de Dirac)?

Respuestas (1)

Interpretación de los estados de la ecuación de Dirac

Mella · Answer 1

La interpretación de los estados de la ecuación de Dirac depende de la representación que elija para su $\gamma^\mu$ -matrices o tu $\alpha_i$ y $\beta$ -matrices dependiendo de lo que prefieras. Ambos están vinculados a través de $\gamma^\mu=(\beta,\beta\vec{\alpha})$ . Elegir su representación fijará (más o menos) su base en la que considera las soluciones a su ecuación (si elige otra representación, rotará toda su solución).

La representación que elegiré es la representación de Dirac-Pauli, dada por:

β = (\begin{array}{cc} {yo}_{2 \times 2} & 0 \\ 0 & - {yo}_{2 \times 2} \end{array}) y α^{i} = (\begin{array}{cc} 0 & σ^{i} \\ σ^{i} & 0 \end{array}),

$\beta=\left(\begin{array}{c c}\mathbb{I}_{2\times2}&0\\0&-\mathbb{I}_{2\times2}\end{array}\right) \quad\text{and}\quad \alpha^i=\left(\begin{array}{c c}0&\sigma^i\\\sigma^i&0\end{array}\right),$ dónde

σ^{i}

$\sigma^i$ son las matrices de Pauli.

Si resuelve la ecuación de Dirac en esta representación, encontrará 4 soluciones independientes :

ψ_{1} (X) = {norte}_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \frac{{pags}_{z}}{mi + metro} \\ \frac{{pags}_{X} + i {pags}_{y}}{mi + metro} \end{matrix}) Exp (- i {pags}_{m} X^{m})

$\psi_1(x)=N_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\\frac{p_z}{E+m}\\\frac{p_x+ip_y}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu)$

ψ_{2} (X) = {norte}_{2} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \frac{{pags}_{X} - i {pags}_{y}}{mi + metro} \\ \frac{- {pags}_{z}}{mi + metro} \end{matrix}) Exp (- i {pags}_{m} X^{m})

$\psi_2(x)=N_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\\frac{p_x-ip_y}{E+m}\\\frac{-p_z}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu)$

ψ_{3} (X) = {norte}_{3} (\begin{matrix} \frac{{pags}_{z}}{mi - metro} \\ \frac{{pags}_{X} + i {pags}_{y}}{mi - metro} \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) Exp (i {pags}_{m} X^{m})

$\psi_3(x)=N_3\left(\begin{array}{c}\frac{p_z}{E-m}\\\frac{p_x+ip_y}{E-m}\\1\\0\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu)$

ψ_{4} (X) = {norte}_{4} (\begin{matrix} \frac{{pags}_{X} - i {pags}_{y}}{mi - metro} \\ \frac{- {pags}_{z}}{mi - metro} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) Exp (i {pags}_{m} X^{m})

$\psi_4(x)=N_4\left(\begin{array}{c}\frac{p_x-ip_y}{E-m}\\\frac{-p_z}{E-m}\\0\\1\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu)$

La forma de interpretar estos estados es mirarlos en el marco de reposo, por lo que el marco en el que están quietos $p^\mu=(E,0,0,0)$ , los estados se convertirán simplemente en los siguientes:

ψ_{1} = {norte}_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) {mi}^{- i mi t}, ψ_{2} = {norte}_{2} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) {mi}^{- i mi t}, ψ_{3} = {norte}_{3} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) {mi}^{i mi t} y ψ_{4} = {norte}_{4} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) {mi}^{i mi t},

$\psi_1=N_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)e^{-iEt}, \psi_2=N_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)e^{-iEt}, \psi_3=N_3\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right)e^{iEt}\text{ and } \psi_4=N_4\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)e^{iEt},$ mediante la inspección de la evolución temporal del factor de fase ya podemos ver que

ψ_{1}

$\psi_1$ y

ψ_{2}

$\psi_2$ representan estados de energía positiva (partículas) y la

ψ_{3}

$\psi_3$ y

ψ_{4}

$\psi_4$ representan estados de energía negativa (por lo que anti-partículas).

Para conocer el giro se debe utilizar el operador de helicidad , dado por:

σ_{pags} = \frac{\hat{\vec{pags}} \cdot \hat{S}}{| \vec{pags} |},

$\sigma_p=\frac{\hat{\vec{p}}\cdot \hat{S}}{|\vec{p}|},$ En el caso de la ecuación de Dirac, el operador de espín viene dado por la doble matriz de Pauli:

\hat{S} = \frac{1}{2} (\begin{array}{cc} \vec{σ} & 0 \\ 0 & \vec{σ} \end{array}),

$\hat{S}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\vec{\sigma}&0\\0&\vec{\sigma}\end{array}\right),$ si dejamos que este funcione en los espinores

ψ_{1}

$\psi_1$ ,

ψ_{2}

$\psi_2$ ,

ψ_{3}

$\psi_3$ y

ψ_{4}

$\psi_4$ , encontramos que su espín es respectivamente arriba, abajo, arriba, abajo. Entonces, al observar los electrones, el espinor de Dirac se puede interpretar en la representación de Pauli-Dirac como (por ejemplo, para el electrón):

ψ = (\begin{matrix} {mi}^{-} ↑ \\ {mi}^{-} ↓ \\ {mi}^{+} ↑ \\ {mi}^{+} ↓ \end{matrix}) .

$\psi=\left(\begin{array}{c}e^-\uparrow\\e^-\downarrow\\e^+\uparrow\\e^+\downarrow\end{array}\right).$ Cuando el impulso NO es igual a cero, estos diferentes estados se mezclan y no puedes hacer una identificación tan simple. Usualmente se dice que el electrón se convierte en una mezcla de un electrón con positrones cuando comienza a moverse.

¿Cómo debería un estado de $\psi_1+\psi_3$ entonces ser interpretado? ¿Una medida encontrará a veces electrones, otras veces positrones?
@Ruslan, el estado $\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1+\psi_2)$ , será una superposición de un electrón girando hacia arriba y un positrón girando hacia abajo (en el marco de reposo), por lo que una medición tendría un 50% de posibilidades de encontrar un electrón girando hacia arriba y un 50% de posibilidades de encontrar un positrón de giro.
No diría que la representación de Dirac es "la más común". La representación quiral (o de Weyl) $γ^{m} = (\begin{array}{cc} 0_{2} & σ^{m} \\ {\bar{σ}}^{m} & 0_{2} \end{array})$ $\gamma^{\mu} = \left( \begin{array}{c c} 0_2 & \sigma^{\mu} \\ \bar{\sigma}^{\mu} & 0_2 \end{array} \right)$ dónde $σ^{m} = ({yo}_{2}, σ^{i}) y {\bar{σ}}^{m} = ({yo}_{2}, - σ^{i})$ $\sigma^{\mu} = (I_2, \sigma^i) \quad \mbox{ and } \quad \bar{\sigma}^{\mu} = (I_2, - \sigma^i)$ con el $\sigma^i$ las habituales matrices de Pauli, también es muy común. Al igual que con la convención métrica, es un caso desafortunado en el que no todos estarán de acuerdo.
@Nick No pregunté sobre los estados $1$ y $2$ , mi pregunta era sobre $1$ y $3$ . $\psi_1+\psi_2$ es bastante obvio.
@Nick: Además, creo que el subíndice en ese segundo $\psi$ debe ser un '3'.
@Ruslan, como señaló Flint72, cometí un error tipográfico, de hecho son los estados $\psi_1$ y $\psi_3$ Estaba hablando acerca de.
@ Flint72, de hecho, tanto Weyl como Dirac-Pauli son los más utilizados, tal vez me equivoqué al decir que Dirac es el más utilizado. Creo que en física de partículas, la representación de Weyl podría usarse más, pero para una introducción, Dirac-Pauli es la opción típica (si no me equivoco).
@Nick Lo que me hace dudar al interpretar $\psi_{3,4}$ como probabilidad de positrones es la siguiente: en los semiconductores, un electrón en la banda de valencia sigue siendo un electrón, incluso si su masa efectiva es negativa y la energía (en relación con el centro de la banda prohibida) también es negativa, todavía no es un agujero. Pero si hay muchos de esos electrones, entonces los estados no llenos en la banda de valencia son huecos. Parece bastante análogo a los electrones de Dirac. No debería $\psi_{3,4}$ ser estados de electrones en el mar de Dirac, y la falta de tales electrones ser los positrones? ¿O tal analogía es defectuosa?
@Ruslan 1) Tenga en cuenta que $\frac{1}{\sqrt{2}}(\Psi_1+\Psi_3)$ no es un estado propio del hamiltoniano de Dirac, ya que uno tiene energía>0 mientras que el otro <0. Su superposición es posible pero indefinida en la base hamiltoniana. 2) Claro, $\Psi_{3,4}$ son electrones con energía <0. Entonces puedes interpretarlos como pertenecientes al mar de Dirac, como hizo Dirac, y decir que los positrones son agujeros; o puede mirar la corriente conservada y reinterpretarlos como estados cargados positivamente. De cualquier manera, se da cuenta de que la ecuación de Dirac admite estados de energía <0 para los electrones. Esa era la preocupación de Pauli, de hecho.
@Ruslan, de hecho, en los semiconductores también tiene electrones y agujeros, y si lo desea, puede dibujar ese tipo de analogía ya que un agujero también actúa como una partícula con carga positiva, ¡vea también el comentario de Wizzerad! Porque $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ y $\psi_4$ todos siguen la ecuación de Dirac sabemos que son partículas con masa $m$ (así que todos la misma masa), si miras la carga ves que la carga de $\psi_1$ y $\psi_2$ es opuesto al de $\psi_3$ y $\psi_4$ (Puedes hacer esto por simetría, o calculando la densidad de probabilidad e interpretándola como una distribución de carga como lo hizo Pauli).

Interpretación de los estados de la ecuación de Dirac

Ruslán

Respuestas (1)

Mella

Ruslán

Mella

pedernal72

Ruslán

pedernal72

Mella

Mella

Ruslán

Wizzerad

Mella

Interpretación de los estados de la ecuación de Dirac para electrones en movimiento

¿En qué representación se escribe la ecuación de Dirac en RQM (a diferencia de QFT)?

¿Por qué se permite que las soluciones del estado S de la ecuación de Dirac para el átomo de hidrógeno sean ilimitadas?

Obtención de la función de onda a partir de la ecuación de campo

¿La ecuación de Dirac pone la carga y el espín en el mismo plano?

¿Cuál es la interpretación de probabilidad cero en física?

Quantum introductorio, problemas con esta condición límite y potencial

¿Podemos generar la acción de Proca (spin-1) a partir de la acción de Dirac (spin-1/2)?

Tratando de entender primero las bases de posición y momento en Mecánica Cuántica

¿Por qué las funciones de onda tienen que ser de un solo valor?