Interpretación de la ecuación aleatoria de Schrödinger

El potencial aleatorio es un modelo para pequeñas fluctuaciones en la energía local de un electrón, cuando hay defectos o impurezas que aumentan un poco la energía de un electrón en ciertos puntos y la reducen en otros puntos. Este es un buen modelo, aunque no lo parezca al principio, porque la solución de la mecánica cuántica no es sensible a los detalles más finos del potencial aleatorio V (en dimensiones bajas), sino que el electrón de la mecánica cuántica solo nota la variación lenta. valor promedio de V de una región a otra.

Este es un campo enorme, y solo estoy dando una visión general muy superficial. Es uno de los problemas más estudiados del último medio siglo y merece la atención que recibe.

El potencial aleatorio parece superficialmente intimidante, porque la definición habitual es que el potencial V es aleatorio gaussiano en cada punto y generado por la distribución de probabilidad

$$e^{-{1\over 2}\int V^2 d^dx}$$

en dimensiones D. Esta es una Gaussiana independiente en cada punto x del espacio d-dimensional, y la función de correlación estadística de V para diferentes selecciones de estas distribuciones de probabilidad es

$$\langle V(x)V(y)\rangle = \delta^d(x-y)$$

Debería pensar en esto de la siguiente manera: el espacio está hecho de una red de tamaño$\epsilon$, la integral se reemplaza por una suma y la función delta por una protuberancia discreta de tamaño$1\over \epsilon^d$. Esta es probablemente la aproximación discreta que viste. Entonces el enunciado es que en el límite que$\epsilon$va a cero, se obtiene una teoría sensata. La teoría es el valor propio del operador de Schrödinger

$$(\Delta + \lambda V)\psi = E\psi$$

Dónde$\lambda$es la fuerza del desorden --- te dice qué tan fuerte es la aleatoriedad.

El punto es que la energía potencial en cada sitio de red es una Gaussiana de ancho$\lambda\over \epsilon^{d\over 2}$. El gaussiano tiene una gran variación, y el potencial oscila entre un gran valor positivo y un gran valor negativo cada pocas celdas vecinas. Superficialmente, no parece una noción sensata de potencial.

Los potenciales que son así de locos no tienen sentido clásicamente, ya que tienes puntos de inflexión en todas partes, y clásicamente, simplemente oscilas alrededor del mínimo más profundo, y no puedes, porque hay baches en todas partes que bloquean tu camino. Para este problema, debes dejar de pensar clásicamente por completo. En la mecánica cuántica, la partícula hace un túnel alrededor de los mínimos, pasa a otros mínimos y se suprime un poco cada vez que tiene que pasar por una región de alto potencial.

La pregunta principal aquí es si la partícula puede abrirse camino hasta el infinito, de modo que la función de onda se extienda, o si la función de onda de cada estado decae exponencialmente a largas distancias. Esta es la cuestión de si el material aleatorio localiza los electrones, de modo que es un aislante, o deslocaliza los electrones, de modo que es un conductor.

La referencia clásica para esto es el artículo ganador del Premio Nobel "Ausencia de difusión en celosías aleatorias" de PW Anderson. A pesar del título, no está hablando de difusión estadística, está hablando de esta cosa mecánica cuántica.

Autoconsistencia en dimensiones < 4

Lo primero que debe hacer es asegurarse de que el problema tenga un límite de espacio pequeño autoconsistente. Esto es probablemente lo que le interesa hacer rigurosamente, pero las heurísticas son instructivas.

Considere colocar una pequeña protuberancia de función de onda de ancho a encima del potencial aleatorio. Lo que hay que comprobar es que (casi con seguridad) no puedes ganar una cantidad infinita de energía colocando el bulto en el lugar correcto, en un punto donde el promedio de V sobre el bulto será muy negativo. Dividiendo la región de tamaño$a^d$dentro$\epsilon^d$cubos, encuentras que hay$N=(a/\epsilon)^d$de ellos, cada uno al azar, y por la ley de la raíz cuadrada, el valor negativo típico de V en esta protuberancia tendrá el tamaño$1\over \sqrt{N}$, mientras que las fluctuaciones de V en la escala$\epsilon$explotar como$1\over \epsilon^{d\over 2}$. los$\epsilon$las partes se cancelan, y encuentras la escala a de la energía potencial típica en una región de tamaño a:

$$V_\mathrm{typ} = - {\lambda\over\epsilon^{d\over 2}} ({\epsilon\over a})^{d\over 2} = {\lambda\over a^{d\over 2}}$$

A medida que a crece, se promedia sobre V aleatorias más independientes y se obtiene un promedio más pequeño, y se reduce como esta ley de potencia. A medida que a se vuelve más pequeña, puedes generar una energía potencial cada vez más negativa sin límite, porque las fluctuaciones se hacen más grandes (y buscas la región más negativa). Pero hay un costo para hacer un tamaño más pequeño, el ancho pequeño significa que hay una incertidumbre de momento en el orden.$1/a$, y esto crea una energía cinética que va como$1/a^2$. Mientras la energía cinética venza a la energía potencial en la forma en que explota, habrá un buen límite. De lo contrario, los estados de la partícula colapsarán en un punto. Probablemente se le pida que demuestre esto rigurosamente.

La condición es que d<4. Así que el problema tiene sentido en 1, 2, 3 dimensiones, y quizás en 4. También tiene sentido en formas fractales de la dimensión fractal apropiada estrictamente menor que 4. El caso de 4 dimensiones es marginal, y no estoy seguro si el ahí está bien planteado el problema, si depende de los detalles de la red, o si hay diferentes fractales de 4 dimensiones donde funciona y otros donde no. Este es el caso del límite.

Hacer esto riguroso puede ser algo difícil, porque necesita probar que con probabilidad 1, uno no puede ganar energía encontrando ubicaciones muy especiales en una configuración de V donde la energía potencial es mucho más pequeña que el tamaño típico de fluctuación de energía. Puede que no haya buenos métodos matemáticos para hacer esto rigurosamente en este momento, pero es completamente obvio desde el punto de vista físico (el número de posiciones solo crece polinómicamente con la malla que se encoge, mientras que el número de configuraciones en la malla que se encoge crece exponencialmente. El un número mucho mayor de posibilidades para los valores microscópicos de V hace obvio que buscar a través de muchas posiciones polinómicas no le dará más que un pequeño factor sobre la estimación ingenua anterior).

1 dimensión es exactamente solucionable

El problema unidimensional se puede resolver exactamente, y esto fue hecho por Bert Halperin aquí . Una forma de tratar esto es usar la llamada "matriz R", que es una matriz de reflexión/transmisión unidimensional que le dice cómo las ondas planas se dispersan/reflejan en un bache.

El producto de las matrices R en una serie es la matriz R para el problema de potencial aleatorio y, en este caso, puede analizar el producto numéricamente y ver que obtiene la atenuación para todas las V. Esto significa que todas las funciones de onda en 1d están localizadas, todas caen exponencialmente a largas distancias.

Una predicción sorprendente (pero cierta) es que todos los cables eventualmente son aislantes. Dado que todos los materiales tienen un poco de potencial aleatorio, todos los cables unidimensionales se localizarán eventualmente. La razón por la que no ve esto es porque los cables metálicos largos tienen un desorden relativamente pequeño y un gran grosor, por lo que la longitud de localización es mucho mayor de lo que puede medir.

2 dimensiones es crítico

El problema bidimensional es fascinante, porque es el punto crítico para un análisis grupal de renormalización del problema de localización. En dos dimensiones, el problema de potencial aleatorio se localiza marginalmente. Este es un análisis complicado, y no estoy preparado para escribir sobre él en este momento.

Una cosa que esto sugirió es que 2d es como 1d, en que cada$\lambda$localiza Sin embargo, hubo simulaciones que sugirieron que esto no es así, que hay una transición de localización en 2d. Este debate se prolongó durante 20 años en la física de la materia condensada, y he oído que ahora se considera resuelto, aunque de qué manera y con qué métodos (numéricos o RG) no sabría decir.

3 dimensiones: transición de Anderson y localización débil

El caso tridimensional es muy interesante, ya que tiene una transición de fase de segundo orden entre los estados de localización y deslocalización a medida que ajusta el parámetro$\lambda$.

A$\lambda=0$, tiene una deslocalización completa, todos los estados son estados de impulso, están dispersos y no decaen en el infinito. Cuando$\lambda$es débil, puede tratar el potencial aleatorio como una pequeña perturbación y calcular las correcciones a las propiedades del material a partir de unos pocos órdenes de teoría de la perturbación. Esto no es tan bueno desde una perspectiva matemática, porque la perturbación no está localizada en un punto, por lo que las funciones propias son completamente diferentes para un matemático, pero para un físico, la transmisión de corriente en el conductor solo se ve alterada por una secuencia de dispersiones. de la aleatoriedad.

Estas dispersiones tienen la propiedad de que si dispersas k veces, y lo haces exactamente hacia atrás k veces, tienes la misma fase para ambos procesos. Esto lleva a la partícula a querer permanecer en su lugar más de lo esperado, debido a la interferencia constructiva entre los caminos y su tiempo inverso. Si rompes la simetría de inversión del tiempo, al introducir un campo magnético, entonces permites que los electrones fluyan mejor, porque eliminas la interferencia constructiva.

Este efecto se denomina localización débil y conduce a que los materiales tengan un pico de resistividad en el campo magnético aplicado 0. Esta magnetorresistencia fue un tema muy activo en las décadas de 1980 y 1990, al igual que la localización débil en general. Uno de los buenos aspectos de esto es que te permite averiguar cuánto tiempo los electrones mantienen la coherencia de fase en un material, ya que el efecto requiere una interferencia constructiva de caminos que se extienden de manera significativa dentro del metal.

Pero la historia estándar es solo la localización . en extremadamente alto$\lambda$, sabemos por la escala de localización que las funciones de onda se arrugarán un poco, pero sabemos por la escala dimensional que no pueden bajar a$\epsilon$, pero debe ocupar alguna escala intermedia.

Anderson sugirió estudiar esto a partir de estados completamente localizados. los

Enfoques

Los problemas de desorden son interesantes porque requieren que promedies el desorden, pero no como una variable dinámica que fluctúa térmicamente, sino como algo estático. Los físicos llaman a este desorden "apagado", ya que es análogo a apagar rápidamente un material caliente como el acero en agua y congelar las impurezas y el desorden en su lugar, sin permitir que alcancen el equilibrio térmico y se disipen.

Para el desorden extinguido, desea calcular funciones de correlación y luego promediar sobre el desorden,

$$\langle \phi \phi \rangle_V = \sum_V P(v) \langle \phi\phi\rangle = \sum_V P(V) {\partial\over \partial J}{\partial\over \partial J} \log[Z(J)]|_{J=0}$$

La cantidad$Z$es también una suma sobre configuraciones, es la integral de trayectoria cuántica (o la integral de trayectoria estadística cuántica). La diferencia es que el promedio sobre$V$tiene que hacerse después de tomar el registro de$Z$, ya que no quieres$V$para convertirse en un campo cuántico dinámico, o un campo clásico estadísticamente fluctuante, pero solo desea promediar los resultados del cálculo sobre todos los valores de$V$.

Tradicionalmente, hay dos formas de hacer el promedio sobre$V$. El primero es el truco de la réplica de Parisi: la idea aquí es realizar la suma sobre$V$con$N$copias del sistema:

$$\sum_{V\phi_1...\phi_N} e^{-S(\phi_1) - S(\phi_2) ... - S(\phi_N)}$$

Esto da

$$\langle Z^N\rangle$$

entonces tomas el límite formal$N\rightarrow 0$, en el que la escala principal es

$$\langle \log(Z)\rangle$$ . Esta idea es probablemente lo más difícil de imaginar haciendo rigurosa, pero esta idea de réplica ha sido inmensamente fructífera para la física. Se parece a la noción de Entropía de Renyi en matemáticas, pero es más formal, ya que las funciones de partición reales solo están completamente definidas para números enteros . $N$mayor que 1

Este es un campo muy amplio, y puede buscar en Google "truco de réplica" y "ruptura de simetría de réplica" para obtener más información. Este método es indispensable para la física moderna de la materia condensada.

El segundo método es el enfoque de supersimetría y se basa en el siguiente hecho: en un sistema SUSY, ¡la función de partición es exactamente 1! Esto puede parecer sorprendente, pero es obvio en un sistema estocástico con un mapa de Nicolai (ver esta respuesta: Un cierto$\cal{N}=2$teoría superconformal (¿o lo es?) ). Cuando tienes un sistema estocástico, la función de partición es constante --- solo depende de seleccionar la variable de ruido, no de los valores del campo.

Si usa este hecho, junto con el hecho de que los derivados de$\log(Z)$con respecto a las fuentes es el recíproco de Z por la derivada de$Z$con respecto a las fuentes, obtienes que para un sistema SUSY, puedes promediar$\log(Z)$simplemente promediando$Z$. Esta es la otra forma de lidiar con el desorden.

El método SUSY y el método de réplica son complementarios y han dado una idea de diferentes problemas. El método de la réplica ha sido más general, aunque menos riguroso, y más lleno de preocupaciones sobre si funciona o no.