Intercambio de manecilla de minutos y manecilla de hora

Una persona que se fue de casa entre 4 tarde y 5 pm regresó entre 5 tarde y 6 pm y descubrió que las manecillas de su reloj han cambiado exactamente de lugar. ¿Cuándo salió?

Mi intento : La esfera de un reloj se divide en 60 divisiones iguales. En una hora, el minutero da una vuelta completa, es decir, se mueve a través 60 divisiones y la manecilla de la hora se mueve a través 5 divisiones Supongamos que, cuando el hombre salió, la manecilla de la hora estaba X divisiones delante del punto etiquetado 12 en el dial, donde 20 < X < 25 (mientras salía entre 4 tarde y 5 pm). También suponga que, cuando el hombre regresó, la manecilla de la hora estaba y divisiones delante de la marca cero y 25 < y < 30 . Dado que el minutero y la manecilla de la hora intercambiaron exactamente sus lugares durante el intervalo en que el hombre estuvo fuera, el minutero estaba en y cuando salió y en X cuando regresó. Como el minutero se mueve 12 veces más rápido que la manecilla de las horas, podemos decir que el ángulo que barre la manecilla de los minutos será 12 tiempos que pasaban por la manecilla de la hora. Pero, no puedo expresar esto en términos de X y y .

Cualquier sugerencia constructiva es apreciada.

Creo que formularía el problema como h 1 = 4 + X , metro 1 = 12 X , h 2 = 5 + y , metro 2 = 12 y .
¿Puede decirme qué se debe hacer después de eso?
h 1 es la posición de la manecilla de la hora cuando salió de casa, y metro 2 es la posición del minutero cuando regresó. ¿Qué sabemos de estos?
Sabemos que como el tiempo durante el cual se mueven la manecilla de los minutos y la manecilla de las horas es el mismo, el ángulo que recorren estará en proporción a sus velocidades...
Solo quise decir que la posición de la manecilla de hora cuando se fue es la misma que la posición de la manecilla de minutos cuando regresó.
si eso es verdad
Podrías simplemente resolver el sistema: 4 + X = 12 y y 5 + y = 12 X .

Respuestas (2)

Entre el momento en que sale y el momento en que regresa, la manecilla de hora describe el arco menor entre las posiciones originales de las manecillas, y la manecilla de minutos describe el arco mayor. Entonces, el ángulo total de rotación de las dos manos juntas es una revolución completa.

Al mismo tiempo, sabemos que la manecilla de los minutos debe haber girado 12 veces más que la manecilla de las horas. Así que el espacio entre las dos manos cuando sales es 1 / 13 de una revolución

Ahora suponga que la hora a la que se va es 4 + X horas, donde 0 < X < 1 . En ese momento la posición del minutero, en relación con la parte superior de la esfera, es X revoluciones La posición de la manecilla de la hora es ( 4 + X ) / 12 revoluciones Entonces tenemos

X − ( 4 + X ) / 12 = 1 / 13

La solución de esta ecuación es X = 64 / 143 .

Entonces el tiempo que te vas es 26 122 143 minutos pasadas las cuatro.

PISTA:

Consideremos un tiempo como un número entre 0 y 12 . En el momento X = la posición de la manecilla de hora, la posición de la manecilla de minutos es igual 12 { X } , dónde { X } es la parte fraccionaria de X . Si X = a 0 . a 1 a 2 … ( 12 ) escrito en base 12 , entonces 12 { X } = a 1 . a 2 a 3 … ( 12 ) .

Dejar X , y ser la salida, y los tiempos de llegada. Entonces tenemos el sistema

y = 12 { X } X = 12 { y }
y las condiciones 4 ≤ X ≤ 5 , 5 ≤ y ≤ 6 . Concluimos que en base 12 tenemos
X = 4.5454 … ( 12 ) y = 5.4545 … ( 12 )

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@Mike, las respuestas sorprendentes merecen una votación positiva.
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@Mike, no sé por qué recibiste ese mensaje. Eres un usuario: usuario 963216. Solo deberías necesitar una reputación ≥ 15 para votar, y su reputación es actualmente 126.
@Joe Está bien. Joe, echa un vistazo al mapa aquí. Soy de una de las zonas claras. ¿Eres de una de las zonas oscuras?
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