Un acertijo matemático de concurso de octavo grado

En un tipo de examen competitivo, la siguiente pregunta estaba dirigida a estudiantes de 8º grado y superiores.

Sophie había escrito los números del 1 al 22 en los 22 discos de la figura, pero Adelaide, su molesta hermana mayor, borró catorce.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Encuentra las posiciones de los números borrados sabiendo que

  1. Cada número escrito en el centro de un hexágono representa la suma de los números colocados en los vértices de este hexágono
  2. Dos discos conectados directamente por una línea nunca contienen números consecutivos.

En la hoja de respuestas, escribe los valores de los números. a , b , C , d y mi .

Además de esto, la pregunta también puede tener múltiples respuestas (y se espera que el estudiante las informe todas).

No tengo idea de cómo atacar este problema. Por supuesto, la fuerza bruta no es una solución, ya que en ese caso debe verificar ∼ 22 14 ≈ 6.2 × 10 18 casos que es una imposibilidad incluso para un programa de ordenador.

Después de hacer una búsqueda en Google recientemente, descubrí algo similar llamado Problema de la tortuga hexagonal y un artículo al respecto. Pero, estos no podían llevarme a ninguna parte.

Una observación aleatoria es que si realmente necesitamos aplicar la fuerza bruta a la solución con algunas conjeturas informadas, entonces tal vez el disco que conecta 4 , 7 , 12 es el que hay que empezar (ya que es el que está más restringido ). Pero, incluso en ese caso, hay demasiadas opciones con las que lidiar.

Todas las ideas son bienvenidas.

Esta pregunta tenía una solución extremadamente elegante que se cerró debido a las quejas de que la pregunta era un problema de concurso. La realidad es que-

  1. Ya había enviado mis respuestas para el concurso.
  2. Publiqué la pregunta solo después de la fecha límite inicial del concurso.

Pero desafortunadamente, no sabía que el concurso había extendido sus plazos y por eso cometí este error.

No puedo recordar claramente la respuesta (excepto que se trata de sumar los números en los cuadros de alguna manera). Si alguien puede resolverlo, o alguien aquí lo recuerda, o el que respondió la respuesta original lo ve una vez más, considere poner la respuesta aquí nuevamente.

Abstente de ayudar a esta persona ya que se trata de un concurso en curso. ifomg.org/home es el enlace al sitio web. El plazo del concurso se amplió hasta el 31 de enero.
Esto ha sido cerrado y bloqueado, según las pautas sobre problemas de competencia. drive.google.com/file/d/1cN6hTHiD1LyTcIp63YfxuggqPaxvKqBG/view
@KaRmA Para referencia futura, puede marcar una pregunta para que la revise el moderador. Si hubieras marcado esto como un problema del concurso hace dos semanas, podría haberlo visto antes.

Respuestas (2)

La solución "elegante" que te falta es probablemente la siguiente: suma todos los números de los tres hexágonos de las esquinas. Esto da por un lado la suma de estos tres hexágonos, por otro lado, esto es igual a la suma de todos los números excepto 12, 16, b y c:

69 + 56 + 66 = ∑ k = 1 22 k − ( 12 + dieciséis + b + C )
Esto produce
b + C = 34.
Afortunadamente, solo hay una posibilidad de sumar dos de los números que faltan a 34, a saber, b = 15 y c = 19 (b no puede ser 19 debido a que se encuentra al lado de 20 en la cuadrícula). A partir de ahí, es fácil llenar los espacios vacíos restantes para obtener la solución que se presentó en otra respuesta.

Encontrar la solución a b+c=N se puede hacer en O(n). Con los dígitos restantes ordenados, si ambas colas suman menos de N, descarta la pequeña; si es más, deja caer el grande. Para N=34, tenemos {1,2,3,5,6,8,11,14,15,17,18,19,21,22} → {14,15,17,18,19,21, 22} → {14,15,17,18,19} → → {15,17,18,19} ⇒ 2 cruces: 15+19=34
Sí, este es exactamente el que me faltaba! ¡Gracias! (+1)
Por singularidad, soltamos 2 colas y reiniciamos la búsqueda. {17,18} → {}

Puede reducir en gran medida la cantidad de casos necesarios para verificar significativamente si observa que la restricción de suma significa que solo necesita iterar como máximo 22 8 tuplas posibles. Pero muchos de estos casos se eliminan de antemano al verificar la consecutividad y la unicidad, por lo que mi programa solo verificó 338373 casos para producir la única solución posible como

Solución

Por lo tanto, tenemos a = 1 , b = 15 , C = 19 , d = 17 , mi = 18 .

Esta pregunta tenía una solución extremadamente elegante que se cerró debido a las quejas de que la pregunta era un problema de concurso. La realidad es que (1) ya había enviado mis respuestas para el concurso y (2) publiqué la pregunta solo después de la fecha límite inicial del concurso. Pero no sabía que el concurso había extendido sus plazos y, por lo tanto, cometí este error.
De todos modos, la respuesta (por quién no recuerdo) de la que estoy hablando se trata de sumar los números en los cuadros y manipularlos de alguna manera para obtener fácilmente un par de cuadrados; el resto se deduce de manera trivial. De esa manera, no necesita escribir ningún código.
Sin embargo, tu respuesta no es mala (+1)
@SayanDutta Supuse que sí, solo estaba haciendo malabares con esto con algunas otras preguntas y no quería pensar demasiado en eso: P
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