Integral que involucra dos funciones de energía de Green

Como sugirió Philip Cherian, es posible que desee consultar la sección de Matemáticas. Sin embargo, quiero señalar una cosa sobre cómo manejar el límite.

supondré que$|\vec{k}|\ne 0$. Lo primero que debes hacer es separar cada propagador en sus partes real e imaginaria. En general,

$$\lim_{\delta \rightarrow 0^+}\frac{1}{E-E(q)+i\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+}\left[\frac{1}{E-E(q)}-i\frac{\delta}{[E-E(q)]^2 + \delta^2}\right],$$ donde multipliqué arriba y abajo por el complejo conjugado del denominador, y descarté el $\delta^2$en el denominador de la parte real, ya que simplemente desaparecerá cuando tomes el límite. Entonces usas la identidad $$\lim_{\delta\rightarrow 0^+}\frac{\delta}{[E-E(q)]^2+\delta^2} = \pi\delta(E-E(q)),$$ es decir, el delta de Dirac. lo que obtienes es $$\begin{split}&\int d^3q\,\left[\frac{1}{E-E(q)}-i\pi\delta(E-E(q)) \right]\left[\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)}-i\pi\delta(E-E(\vec{q}+\vec{k})) \right]\\ &=\int d^3q\,\frac{1}{E-E(q)}\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)} + i\pi\int d^3q\,\left[ \frac{\delta(E-E(q))}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)} + \frac{\delta(E-E(|\vec{q}+\vec{k}|))}{E-E(q)} \right]. \end{split}$$

Tenga en cuenta que, dado que estoy asumiendo$k\ne 0$, el producto de dos deltas de Dirac tendrá que desaparecer, porque sus argumentos nunca son simultáneamente cero. Puede evaluar fácilmente la integral con los deltas de Dirac. Recuerde que, dado que la dispersión es cuadrática en$q$, debe seguir ciertas reglas cuando cambie las variables. Eso te da la parte imaginaria de la integral. No tengo ningún consejo real sobre cómo evaluar la parte real.

$$\mathrm{Re}\{I(\vec{k})\}=\int d^3q\,\frac{1}{E-E(q)}\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)},$$ excepto para comprobar que realmente lo necesita. Dependiendo del problema que estés resolviendo, a veces todo lo que necesitas es la parte imaginaria. Por otro lado, también te recomiendo que verifiques que ambos denominadores en $I(\vec{k})$tener $+i \epsilon$, en lugar de que uno tenga $+i \epsilon$y el otro $-i\epsilon$. Digo esto porque esa expresión parece la aproximación del esqueleto a una burbuja de polarización, que es el producto de un propagador retrasado y uno avanzado, en cuyo caso sus partes imaginarias tienen signos opuestos.

Esta es una modificación de las manipulaciones clásicas que se realizan cuando se calculan integrales de bucle. La herramienta a usar generalmente se denomina "parámetros de Feynman". Insertar en las definiciones de$E _i$y definiendo$m ^2 \equiv 2 E$para hacer la conexión con los cálculos habituales que encuentro (dejo caer el$\epsilon$'s ya que son irrelevantes aquí):

$$\begin{align} \frac{1}{2} I & = \int d^3q \frac{1}{ ( q ^2 - m ^2 ) ( ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} ) ^2 - m ^2 ) } \\ & = \int _0 ^1 dx \int d^3q \frac{1}{ \left[ ( ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} ) ^2 - m ^2 ) x + ( q ^2 - m ^2 ) ( 1 - x ) \right] ^2 } \end{align}$$ Expandiendo y reescribiendo la expresión un poco da, $$\begin{equation} \frac{1}{2} I = \int _0 ^1 d x \int d^3q \frac{1}{ \left[ ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} x ) ^2 - {\mathbf{k}} ^2 x ^2 + {\mathbf{k}} ^2 x - m ^2 \right] ^2 } \end{equation}$$ Ahora desplazando la variable integral encuentro: $$\begin{equation} \frac{1}{2} I = \int _0 ^1 d x \int d^3q \frac{1}{ \left[ {\mathbf{q}} ^2 + \Delta \right] ^2 } \end{equation}$$ dónde $\Delta \equiv - {\mathbf{k}} ^2 x ^2 + {\mathbf{k}} ^2 x - m ^2$. La parte angular de la integral ahora es trivial y la integral radial es sencilla. Encuentro, $$\begin{equation} \frac{1}{2} I = \pi ^2 \int _0 ^1 d x \Delta ^{ - 1/2} \end{equation}$$ El $x$la integral generalmente se deja intacta, pero sospecho que en este caso también podría intentar llevarla a cabo.