Para los operadores con espectros de puntos puros, está claro cómo contar el número de estados correspondientes a un valor propio dado: solo se puede calcular la dimensión de los espacios propios. Me pregunto cómo hacerlo para espectros continuos. Lo que solía ver en mis clases de pregrado es el truco clásico de poner el sistema en una caja artificial para cuantificar los momentos. En cierto modo es una idea ingeniosa, pero no es muy elegante y se ve sucia. Pero lo que es peor, da una respuesta incorrecta en algunos casos. Me pregunto si hay una forma más rigurosa de hacerlo.
Para la parte absolutamente continua del espectro de un operador autoadjunto , la "densidad de estados" la proporciona la derivada Radon-Nikódym de la medida espectral de con respecto a la medida de Lebesgue, donde es la proyección ortogonal sobre el subespacio absolutamente continuo del dominio de . Esta fórmula está bien definida precisamente por la definición de espectro absolutamente continuo.
No estoy seguro de entender perfectamente tu pregunta, pero formalmente en el conjunto canónico podemos escribir la función de partición como ser:
En este contexto, se deduce que la densidad de estado no es más que la transformada inversa de Laplace de la función de partición:
Esta relación general permite derivar resultados exactos sobre la densidad de estados para casos modelo particulares. El inconveniente, por supuesto, es que las transformadas inversas de Laplace no son tan fáciles de calcular como las transformadas inversas de Fourier.