¡Dos métodos matemáticos que aplican la misma integral de bucle conducen a resultados diferentes! ¿Por qué?

Traté de adoptar el regulador de corte para calcular un diagrama de Feynman simple de un bucle en$\phi^4$-teoría con dos trucos matemáticos diferentes. Pero al final, obtuve dos resultados diferentes y me preguntaba si hay una explicación razonable.

La integral que estoy considerando es la siguiente

$$I=\int^\Lambda\frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\frac{i}{k^2-m^2+i\epsilon} \qquad\text{where}\qquad \eta_{\mu\nu}=\text{diag}(-1,1,1,1)$$ $\Lambda$es la escala de energía de corte y $\epsilon>0$. Luego hago los cálculos.

Método #1 - Teorema del residuo:

Desde

$$I=i\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dk^0}{2\pi}\left[\frac{(2k^0)^{-1}}{k^0+z_0}+\frac{(2k^0)^{-1}}{k^0-z_0}\right] \qquad\text{where}\qquad z_0=\sqrt{|\vec{k}|^2+m^2}-i\epsilon$$ eligiendo el contorno superior en $k^0$-plano complejo que encierra al polo, $-z_0$, tenemos $$\begin{align} I &= \int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\pi i}\oint dk^0\frac{(-2k^0)^{-1}}{k^0+z_0}\\ &= \frac{1}{2}\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{k^2+m^2}}\\ &= \frac{1}{4\pi^2}\int_0^\Lambda \frac{k^2dk}{\sqrt{k^2+m^2}}\\ &= \frac{1}{8\pi^2}\left[\Lambda^2\sqrt{1+\frac{m^2}{\Lambda^2}}-m^2\ln\left(\frac{\Lambda}{m}\bigg)-m^2\ln\bigg(1+\sqrt{1+\frac{m^2}{\Lambda^2}}\right)\right]\\ & \approx \frac{1}{8\pi^2}\left[\Lambda^2-m^2\ln\left(\frac{\Lambda}{m}\right)-m^2\ln2\right] \end{align}$$

Método #2 - Rotación de la mecha:

Dibujando los polos,$-z_0, z_0$, se encuentra que el contorno de integración se puede girar en sentido contrario a las agujas del reloj de modo que,

$$\begin{align} I &= i\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\frac{dk^0}{2\pi}\frac{1}{k^2-m^2+i\epsilon}\\ &= -i\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{idk_4}{2\pi}\frac{1}{k^2_E+m^2} \end{align}$$ dónde $k_4=-ik^0$y $k_E^2=-k^2$, que son $4d$Variables euclidianas. Entonces tenemos $$\begin{align} I&=\int\frac{d^4k_E}{(2\pi)^4}\frac{1}{k^2_E+m^2}\\ &=\frac{1}{16\pi^2}\int_0^{\Lambda^2}\frac{k_E^2 d(k_E^2)}{k^2_E+m^2}\\ &=\frac{1}{8\pi^2}\left[\frac{\Lambda^2}{2}-m^2\ln\left(\frac{\Lambda}{m}\right)-\frac{m^2}{2}\ln\left(1+\frac{m^2}{\Lambda^2}\right)\right] \end{align}$$ Comparando los resultados obtenidos con los dos métodos anteriores, encontraremos sólo el $\ln\Lambda$las partes dependientes son las mismas; Otras dos partes ( $\Lambda^2$-dependencia y pieza finita) son diferentes. Dado que uso el mismo regulador, no sé cómo podrían los trucos matemáticos afectar los resultados.