Elemento de volumen d4k=dk0|k|2d|k|d(cosθ)dϕd4k=dk0|k|2d|k|d(cos⁡θ)dϕ\mathrm{d}^4k =\mathrm{d}k^0 \ ,|\mathbf{k}|^2\,\mathrm{d}|\mathbf{k}| \,\mathrm{d}(\cos\theta) \,\mathrm{d}\phi en el espacio de Minkowski?

Sí, lo es.

La forma de volumen en cualquier (pseudo-)variedad riemanniana$(M,g)$de dimensión$n$, dónde$g$es la métrica, se da en coordenadas locales$(x^1, \dots, x^n)$

$$\sqrt{|\det (g_{\mu\nu})|}dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n$$ dónde $\det(g_{\mu\nu})$es el determinante de la métrica en estas coordenadas. En coordenadas cartesianas, el determinante de la métrica euclidiana es $+1$por qué el determinante de la métrica de Minkowski es $-1$. Sin embargo, el valor absoluto en el factor de raíz cuadrada de la forma de volumen elimina la diferencia de signo, por lo que las formas de volumen son las mismas.

NOTA. La convención notacional en física es

$$d^n x = dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n$$ Véase, por ejemplo, Spacetime and Geometry eq de Carroll . 2.95. Entonces, la respuesta a su pregunta es realmente "sí" debido a la convención de notación, pero esto plantea la pregunta "¿Por qué uno usaría $d^nx$como la forma de volumen tanto para el espacio de Minkowski como para el espacio euclidiano?" cuya respuesta se da arriba.