¿Podemos obtener una métrica no lorentziana a partir de una métrica lorentziana, mediante métodos de renormalización?

El contorno de tiempo realmente no tiene nada que ver con la renormalización. Más bien, es algo que elige desde el principio con el propósito del cálculo que desea hacer. Con cualquier elección de contorno temporal, la teoría de la renormalización es prácticamente la misma. Lo que hace la renormalización (entendida en términos del grupo de renormalización de Kadanoff/Wilsonian) es generar operadores efectivos de mayor dimensión en el Lagrangiano. ¡La adición de operadores al Lagrangiano no tiene ningún efecto sobre cuál es su elección de contorno de tiempo para integrarlos!

El motivo de la elección del contorno de tiempo es un poco más sutil y probablemente solo haya visto los dos casos especiales más comunes. La exposición al caso general puede aclarar lo que sucede con el tiempo imaginario, incluso si nunca usa el caso más general. La función de correlación general (simplificando a un solo campo escalar) se puede escribir

donde los operadores de evolución temporal$U(t_i,t_j)$provienen de trabajar en la imagen de Heisenberg (o interacción) y$\rho$es una matriz de densidad inicial arbitraria que describe el sistema en el tiempo inicial$t_0$. Todo esto es material estándar similar a lo que verá en cualquier curso de QFT.

Aquí viene un truco (parte 1): puedes escribir cualquier matriz de densidad que quieras como$\mathrm{e}^{-\beta H^M}$. Completamente generales.$H^M$no es necesariamente el hamiltoniano de su sistema, aunque si lo es, tiene un estado de equilibrio térmico a temperatura$\beta^{-1}$. Ahora el truco (parte 2): fíjate que$\mathrm{e}^{-\beta H^M} = \mathrm{e}^{-i (-i\beta) H^M} = U(t_0 - i\beta, t_0; H^M)$. Esto es solo un truco: evolución del tiempo imaginario con "Hamiltonian"$H^M$te da una matriz de densidad. Si$H^M = H$esto es sólo un estado térmico. Si no, no lo es. El formalismo general puede hacer frente a la dinámica en tiempo real de un estado de no equilibrio arbitrario.

Ahora eche un vistazo a la página 107 de Stefanucci & van Leeuwen. Reproduzco la figura relevante a continuación (creo que es un uso justo, pero le recomiendo de todo corazón que lea el libro completo si tiene la oportunidad):

La primera figura muestra la situación general que he descrito: la evolución temporal comienza en$t_0$, recorre el eje real para capturar cualquier$\phi(x,t)$operadores que están allí, luego volver a bajar a$t_0$para "encontrar" la matriz de densidad inicial, que hacemos al evolucionar hacia abajo en el eje imaginario con$H^M$que puede o no ser$H$.

Ahora podemos hacer aproximaciones. Si todo lo que le importa son las propiedades del equilibrio térmico y no la evolución del tiempo fuera del equilibrio, puede medir todas las correlaciones térmicas tomando todos los tiempos en el tiempo inicial y$H^M=H$. La parte de tiempo real del contorno colapsa y solo te queda el contorno de tiempo imaginario que conoces. No es tanto que la teoría del campo térmico se defina en un contorno de tiempo imaginario. Es que eso es lo que queda cuando no te importa nada más.

Por otro lado, puede comenzar con algún estado que no interactúe en$t_0\to -\infty$y lentamente (adiabáticamente) encienda una interacción y observe lo que sucede. Esto da el segundo conjunto de contornos (Fig. b), conocido como contornos de Schwinger-Keldysh y que a menudo se usa para estudiar situaciones de desequilibrio como corrientes eléctricas en nanoestructuras, etc.

Finalmente, si toma la matriz de densidad como una matriz de densidad de equilibrio a temperatura cero, entonces puede usar el teorema de Gell-Mann-Low para eliminar completamente el contorno de tiempo hacia atrás. Esto le da el contorno en tiempo real unidireccional habitual que probablemente conoce de QFT ordinario (Fig. c). Esto funciona porque un estado de vacío en$t\to -\infty$pasa adiabáticamente a un estado de vacío en$t\to +\infty$. En una situación de no equilibrio, no puede confiar en esto y necesita el contorno completo.