Integral doble entre dos círculos

El problema aquí es que$r = 2\cos\theta$no es realmente el límite inferior. En cambio, es el límite superior si$\theta \in [\pi/3, 2\pi/3]$. Entonces, deberíamos dividirnos en dos casos para cuando cambie el límite superior:

$$\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\int_0^1 r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta + \int_{\pi/3}^{2\pi/3}\int_0^{2\cos\theta} r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta$$ Tenga en cuenta que debido a la simetría con respecto a la $x$-eje, podemos calcular alternativamente: $$2\left[\int_{0}^{\pi/3}\int_0^1 r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta + \int_{\pi/3}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta} r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \right] = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt 3}{2}$$

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Tenga en cuenta que he interpretado que "el área confinada por estos dos círculos" significa "el área de la región superpuesta de los dos círculos". Si en cambio queremos "el área en el primer círculo pero no en el segundo", entonces la integral deseada sería$\pi$menos la expresión anterior, o simplemente:

$$\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\int_1^{2\cos\theta} r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt 3}{2}$$