Justificación de manipulaciones utilizadas para resolver un problema de física.

Problema.

Una partícula se mueve de manera desacelerada, describiendo una trayectoria circular de radio r , con una velocidad inicial v 0 . Suponer a norte = − a t (aceleración normal y aceleración tangencial).

Calcular la velocidad de la partícula cuando ha recorrido una longitud de arco de 3 r .

Solución.

Recordar a norte = v 2 r y a t = v ′ (dónde v = | v → | ).

Entonces d v d t = − v 2 r , pero d v d t = d v d s d s d t . Recordar que s ( t ) = ∫ 0 t v ( t ) d t , entonces d s d t = v ( t ) .

Entonces, d v d s = − v r , y d v v = − d s r .

Ahora integramos :

∫ v 0 v d v v = − 1 r ∫ 0 3 r d s

Alcanzar v = v 0 mi − 3 .

Entiendo la separación de variables, como estoy acostumbrado a eso de los DE, lo que no entiendo es por qué puede integrarse de un lado con los límites. v 0 , v ( v es también una variable de integración!!!) y por otro lado usando 0 , 3 r .

¿Por qué es esto posible?

¿Hay una forma más matemáticamente correcta de resolver esto? ¿Qué pasa con la parte que dice s ′ ( t ) = v ( t ) (han justificado que usando la FTC, pero aquí tenemos t como límite de integración y variable ficticia...)?

Realmente es una mala notación en nuestras partes (físicas), nadie le impide tener una integral con respecto a x y también tener x en los límites de integración, pero se ve extraño

Respuestas (1)

Esto es lo que realmente está sucediendo. Sabemos

1 v d v d s = − 1 r .
Ahora integramos ambos lados con respecto a s .
∫ 0 3 r 1 v d v d s d s = − 1 r ∫ 0 3 r d s .
Resolvemos el lado izquierdo al darnos cuenta de que v es realmente una función de s , v = v ( s ) . Entonces d v = d v d s d s . Entonces podemos hacer la sustitución en la integral. Por supuesto, esto significa que también tenemos que sustituir los puntos finales. Cuando s = 0 , v ( s ) = v 0 . Cuando s = 3 r , v ( s ) = v (De nuevo, como notas, estamos siendo un poco descuidados con la notación aquí). La integral se convierte en
∫ v 0 v d v v = − 1 r ∫ 0 3 r d s .

Este método de resolución de problemas es tan común en la física que los físicos a menudo abusan de la notación y tratan d y d X como una fracción. Si bien no es un tratamiento adecuado del derivado, hace el trabajo.

como sabes eso v es una función de s ? La notación correcta para los límites sería algo como v 0 , v F (velocidad final) o algo así, ¿no?
Porque en cada valor de posición ( s ), podemos asignarle una única velocidad ( v ), por lo tanto, v es una función de s . De hecho, ya estás asumiendo esto implícitamente cuando escribes d v d s . Y sí, los cambios de notación que sugiere son probablemente mejores que los que solemos escribir.
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