Interacción derivada: Hint≠−LintHint≠−Lint\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}. Pregunta sobre las reglas de Feynman

Question

Interacción derivada: Hint≠−LintHint≠−Lint\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}. Pregunta sobre las reglas de Feynman

Física
teoría de calibre
cuantización
integral de trayectoria
lorentz-simetría
teoría cuántica de campos

usuario153663

Como sabemos, si existe una interacción derivada del tiempo en $\mathcal L_\mathrm{int}$ , entonces $\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq -\mathcal{L}_\mathrm{int}$ . Por ejemplo, Escalar QED,

\begin{aligned} L_{i norte t} & = - i mi ϕ^{†} (\partial_{m} ϕ) A^{m} + i mi (\partial_{m} ϕ^{†}) ϕ A^{m} + {mi}^{2} ϕ^{†} ϕ A_{m} A^{m}, \\ H_{i norte t} & = - L_{i norte t} - {mi}^{2} ϕ^{†} ϕ (A^{0})^{2} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathcal{L}_\mathrm{int}&= -ie \phi^\dagger(\partial_\mu \phi) A^\mu+ie(\partial_\mu \phi^\dagger) \phi A^\mu +e^2\phi^\dagger \phi A_\mu A^\mu, \\ \mathcal{H}_\mathrm{int}&=-\mathcal{L}_\mathrm{int} -e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2. \end{aligned}$ Existe el último término que rompe la invariancia de Lorentz.

Derivación:

\begin{array}{rcl} L & = & (\partial_{m} + i mi A_{m}) ϕ (\partial^{m} - i mi A^{m}) ϕ^{†} - {metro}^{2} ϕ^{†} ϕ \\ = & L_{0}^{k GRAMO} + L_{i norte t}, \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&(\partial_\mu+i e A_\mu)\phi (\partial^\mu-i e A^\mu)\phi^\dagger-m^2\phi^\dagger \phi\\ &=&\mathcal{L}_0^\mathrm{KG}+\mathcal{L}_\mathrm{int}, \end{eqnarray}$ dónde

L_{0}^{k GRAMO} = \partial_{m} ϕ \partial^{m} ϕ^{†} - {metro}^{2} ϕ^{†} ϕ,

$\mathcal{L}_0^\mathrm{KG}=\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi^\dagger-m^2\phi^\dagger \phi,$

L_{i norte t} = - i mi ϕ^{†} (\partial_{m} ϕ) A^{m} + i mi (\partial_{m} ϕ^{†}) ϕ A^{m} + {mi}^{2} ϕ^{†} ϕ A_{m} A^{m},

$\mathcal{L}_\mathrm{int}= -ie \phi^\dagger(\partial_\mu \phi) A^\mu+ie(\partial_\mu \phi^\dagger) \phi A^\mu +e^2\phi^\dagger \phi A_\mu A^\mu,$

π = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} ϕ)} = \partial^{0} ϕ^{†} - i mi A^{0} ϕ^{†},

$\pi=\frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial(\partial_0 \phi)}=\partial^0\phi^\dagger-i e A^0 \phi^\dagger,$

π^{†} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} ϕ^{†})} = \partial^{0} ϕ + i mi A^{0} ϕ,

$\pi^\dagger=\frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial(\partial_0 \phi^\dagger)}=\partial^0\phi+i e A^0 \phi,$

\begin{array}{rcl} H & = & π \dot{ϕ} + π^{†} {\dot{ϕ}}^{†} - L \\ = & π \dot{ϕ} + π^{†} {\dot{ϕ}}^{†} - ({\dot{ϕ}}^{†} \dot{ϕ} - \nabla ϕ^{†} \cdot \nabla ϕ - {metro}^{2} ϕ^{†} ϕ) - L_{i norte t} \\ = & π (π^{†} - i mi A^{0} ϕ) + π^{†} (π + i mi A^{0} ϕ^{†}) - ((π^{†} - i mi A^{0} ϕ) (π + i mi A^{0} ϕ^{†}) \\ - \nabla ϕ^{†} \cdot \nabla ϕ - {metro}^{2} ϕ^{†} ϕ) - L_{i norte t} \\ = & (π^{†} π + \nabla ϕ^{†} \cdot \nabla ϕ + {metro}^{2} ϕ^{†} ϕ) - L_{i norte t} - {mi}^{2} ϕ^{†} ϕ (A^{0})^{2} \\ = & H_{0}^{k GRAMO} + H_{i norte t} . \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\pi \dot\phi+\pi^\dagger \dot\phi^\dagger-\mathcal{L} \\ &=&\pi \dot\phi+\pi^\dagger \dot\phi^\dagger-(\dot\phi^\dagger\dot\phi-\nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi-m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int} \\ &=&\pi(\pi^\dagger-ieA^0\phi)+\pi^\dagger (\pi +ieA^0\phi^\dagger)-((\pi^\dagger-ieA^0\phi)(\pi +ieA^0\phi^\dagger) \\ &&-\nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi-m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int}\\ &=&(\pi^\dagger \pi + \nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi+m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int} -e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2 \\ &=&\mathcal{H}_0^\mathrm{KG}+\mathcal{H}_\mathrm{int}. \end{eqnarray}$

Mis preguntas:

Las reglas de Feynman para QED escalar están aquí . Pero vemos que hay un término extra en la interacción hamitoniana $-e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2$ , de acuerdo con el teorema de Wick, debería tener alguna contribución a la regla de Feynman que no ocurre en este libro de texto. He calculado este vértice y encuentro que es distinto de cero. ¿Por qué no hay reglas de Feynman para tal término de ruptura de Lorentz?
Como sabemos, para la cuantificación de la integral de trayectoria, la integral de trayectoria del espacio de coordenadas:
$Z_{1} = \int D q Exp (\int d t L (q, \dot{q})) .$ $Z_1= \int D q\ \exp\left(\int dt\ L(q,\dot q) \right).$ Y la integral de trayectoria del espacio de fases: $Z_{2} = \int D pag D q Exp (\int d t pag \dot{q} - H (pag, q)) .$ $Z_2= \int D p\, D q\ \exp\left(\int dt\ p\dot q -H(p,q) \right).$ Solo para este tipo Lagrangiano $L=\dot q^2-V(p)$ , entonces $Z_1=Z_2$ . ( Las reglas de Feynman para escalar QED en el libro de texto son las mismas que se derivan de la integral de ruta del espacio de coordenadas). Considero que el segundo método de cuantización integral de ruta siempre es equivalente a la cuantización canónica. Entonces, para Scalar QED, ¿son iguales estos dos tipos de cuantificación integral de ruta? ¿Cómo probar?
Para la teoría de calibre no abeliana, existe una interacción derivada incluso en el propio campo de calibre. Parece que todos los libros de texto usan $Z_1$ para obtener las reglas de Feynman. ¿Son estos dos tipos de cuantificación integral de trayectoria iguales en el campo de calibre no abeliano? Si no es lo mismo, ¿por qué elegimos la integral de trayectoria del espacio de coordenadas? ¿Es el axioma porque coincide con el experimento?

Respuestas (2)

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AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Algunas observaciones generales:

En el formalismo del operador, el término adicional no covariante en el hamiltoniano se cancela con un término no covariante proveniente del símbolo de ordenación temporal ingenuo:
$T \sim T_{C o v} - {mi}^{2} ϕ^{2} A_{0}^{2}$ $\mathrm T\sim\mathrm T_\mathrm{cov}-e^2\phi^2A^2_0$

Puede encontrar los detalles en la ref.1, sección 6-1-4.

Por otro lado, el caso del formalismo de la integral de camino está cubierto por el punto 2 a continuación.
La equivalencia formal $Z_1=Z_2$ se puede demostrar para cualquier hamiltoniano de la forma
$H \sim A^{i j} π_{i} π_{j} + B^{i} (ϕ) π_{i} + C (ϕ)$ $H\sim A^{ij}\pi_i\pi_j+B^i(\phi)\pi_i+C(\phi)$ de lo cual su hamiltoniano es un ejemplo de. Para la prueba y discusión relevante, ver ref.2, Vol.1., sección 9.3.
Para la discusión de la cuantificación de la integral de trayectoria de las teorías de calibre no abelianas, consulte la ref.2, Vol.2, capítulos 15.4 -- 15.8. También vale la pena leer Ref.1, capítulo 12-2. En breve, " $Z_1=Z_2$ hasta las sutilezas introducidas por la invariancia de medida.

Referencias

[1] Itzykson & Zuber, Teoría cuántica de campos.

[2] Weinberg, Teoría cuántica de campos.

¿Podrías explicar un poco el primer punto tuyo? ¿Cuál es la razón detrás de elegir tal $\text{T}$ ?
Hola @SolenodonParadoxus, creo que el primer punto está muy bien explicado en la referencia [1], por lo que sería inútil resumirlo aquí. El punto esencial es que $\mathrm T(\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi)=\partial_\mu\partial_\nu\mathrm T(\phi\phi)+\delta_\mu^0\delta_\nu^0\delta(t-t')$ , que no es covariante. Definimos $\mathrm T_\mathrm{cov}$ tal que $\mathrm T_\mathrm{cov}(\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi)=\partial_\mu\partial_\nu\mathrm T_\mathrm{cov}(\phi\phi)$ , que ahora es covariante. El término adicional $\delta_\mu^0\delta_\nu^0\delta(t-t')$ cancela el término no covarante en H_int

qmecanico · Answer 2

AccidentalFourierTransform ya ha dado una buena respuesta. Aquí proporcionaremos más detalles y justificaciones para una clase de interacciones derivadas sin calibre.

Partimos de una acción lagrangiana,
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} S [q] = & \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L = S_{0} [q] + S_{i norte t} [q], \\ L = & L_{0} (q, \dot{q}) + L_{i norte t} (q, \dot{q}), \\ S_{0} [q] = & \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L_{0} (q, \dot{q}), \\ L_{0} (q, \dot{q}) = & \frac{1}{2} {\dot{q}}^{2} = \frac{1}{2} {\dot{q}}^{i} {GRAMO}_{i j} {\dot{q}}^{j}, \\ S_{i norte t} [q] = & \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L_{i norte t} (q, \dot{q}), \\ L_{i norte t} (q, \dot{q}) = & A_{i} {\dot{q}}^{i} - V, \\ {GRAMO}_{i j} = & {GRAMO}_{i j} (q), A_{i} = A_{i} (q), V = V (q), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S[Q]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L~=~S_0[Q]+S_{\rm int}[Q], \cr L~=~& L_0(Q,\dot{Q})+L_{\rm int}(Q,\dot{Q}),\cr S_0[Q]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_0(Q,\dot{Q}), \cr L_0(Q,\dot{Q})~=~&\frac{1}{2}\dot{Q}^2~=~\frac{1}{2} \dot{Q}^i G_{ij} \dot{Q}^j,\cr S_{\rm int}[Q]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_{\rm int}(Q,\dot{Q}), \cr L_{\rm int}(Q,\dot{Q})~=~&A_i\dot{Q}^i - V, \cr G_{ij}~=~&G_{ij}(Q), \qquad A_i~=~A_i(Q), \qquad V~=~V(Q), \end{align} \tag{1}$ que es cuadrática en velocidades. Supondremos que la acción lagrangiana (1) es manifiestamente covariante de Lorentz. [Estamos usando la notación condensada de DeWitt $^1$ para suprimir las dimensiones espaciales (pero no temporales), que pueden oscurecer superficialmente la covarianza manifiesta de Lorentz. Entonces, por ejemplo, el $\frac{1}{2}\dot{Q}^2$ término en $L_0$ se acompaña implícitamente de un $\frac{1}{2}(\nabla Q)^2$ término en $V$ , Etcétera. Términos fuente $J_iQ^i$ también se supone que están dentro $V$ .]
El impulso canónico decía
$\begin{matrix} (2) & {PAG}_{i} = {GRAMO}_{i j} {\dot{q}}^{j} + A_{i} . \end{matrix}$ $P_i~=~G_{ij}\dot{Q}^j+A_i.\tag{2}$ Hacemos hincapié en que la acción hamiltoniana correspondiente también es covariante de Lorentz, $\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} S_{H} [q, PAG] = & \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L_{H} = S_{H, 0} [q, PAG] + S_{H, i norte t} [q, PAG], \\ L_{H} = & {PAG}_{i} {\dot{q}}^{i} - H (q, PAG), \\ H (q, PAG) = & H_{0} (q, PAG) + H_{i norte t} (q, PAG), \\ S_{H, 0} [q, PAG] = & \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L_{H, 0}, \\ L_{H, 0} = & {PAG}_{i} {\dot{q}}^{i} - H_{0} (q, PAG), \\ H_{0} (q, PAG) = & \frac{1}{2} {PAG}^{2} = \frac{1}{2} {PAG}_{i} {GRAMO}^{i j} {PAG}_{j}, \\ S_{H, i norte t} [q, PAG] = & - \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t H_{i norte t} (q, PAG), \\ H_{i norte t} (q, PAG) = & - A^{i} {PAG}_{i} + \frac{1}{2} A^{2} + V, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S_H[Q,P]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_H~=~S_{H,0}[Q,P]+S_{H,{\rm int}}[Q,P], \cr L_H~=~&P_i \dot{Q}^i-H(Q,P), \cr H(Q,P)~=~&H_0(Q,P)+H_{\rm int}(Q,P), \cr S_{H,0}[Q,P]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_{H,0}, \cr L_{H,0} ~=~&P_i \dot{Q}^i-H_0(Q,P), \cr H_0(Q,P)~=~&\frac{1}{2}P^2~=~\frac{1}{2}P_i G^{ij}P_j,\cr S_{H,{\rm int}}[Q,P] ~=~&-\int_{t_i}^{t_f}\! dt~H_{\rm int}(Q,P), \cr H_{\rm int}(Q,P)~=~& -A^iP_i + \color{red}{\frac{1}{2} A^2}+V,\end{align}\tag{3}$ a pesar del término no covariante $A^2:=A_iG^{ij}A_j$ marcado en rojo en la ec. (3). No pusimos esto a mano. En realidad, proviene de hacer la transformación de Legendre correctamente.

Mencionamos (para una comparación instructiva posterior con la ecuación (6) a continuación) que
$\begin{matrix} (4) & L_{i norte t} (q, \dot{q}) + H_{i norte t} (q, PAG) \overset{(1) + (2) + (3)}{=} - \frac{1}{2} A^{2} (q), \end{matrix}$ $L_{\rm int}(Q,\dot{Q})+H_{\rm int}(Q,P) ~\stackrel{(1)+(2)+(3)}{=}~ - \color{red}{\frac{1}{2} A^2(Q)},\tag{4}$ aunque la ec. (4) no se utilizará en lo que sigue. ecuación (4) corresponde a la segunda fórmula de OP.
Hasta ahora sólo hemos discutido la teoría clásica. En la correspondiente formulación del operador mecánico cuántico, los operadores $\hat{Q}^i$ y $\hat{P}_j$ están en la imagen de Heisenberg .
A continuación, consideramos la imagen de la interacción . Aquí la velocidad y el momento están relacionados a través de
$\begin{matrix} (5) & {\dot{q}}^{i} = \frac{\partial H_{0} (q, pag)}{\partial {pag}_{i}} = {GRAMO}^{i j} {pag}_{j}, \end{matrix}$ $\dot{q}^i~=~\frac{\partial H_0(q,p)}{\partial p_i}~=~G^{ij}p_j,\tag{5}$ que debe compararse con la relación correspondiente (2) en la imagen de Heisenberg. ecuación (5) tiene dos consecuencias.

En primer lugar, derivamos la relación un tanto sorprendente
$\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} L_{i norte t} (q, \dot{q}) + H_{i norte t} (q, pag) \overset{(5)}{=} & L_{i norte t} (q, \dot{q}) + H_{i norte t} (q, GRAMO \dot{q}) \\ \overset{(1) + (3)}{=} & + \frac{1}{2} A^{2} (q), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} L_{\rm int}(q,\dot{q})+H_{\rm int}(q,p) ~\stackrel{(5)}{=}~&L_{\rm int}(q,\dot{q})+H_{\rm int}(q,G\dot{q})\cr ~\stackrel{(1)+(3)}{=}&+\color{red}{\frac{1}{2} A^2(q)},\end{align}\tag{6}$ que tiene el signo opuesto de la ec. (4)! Este signo de la ec. (6) será importante en lo que sigue.

En segundo lugar, la ec. (5) implica el CCR de igual tiempo
$\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} [{\hat{q}}^{i} (t), {\dot{\hat{q}}}^{j} (t)] \overset{(5)}{=} & i ℏ {GRAMO}^{i j} 1, \\ [{\hat{q}}^{i} (t), {\hat{q}}^{j} (t)] = & 0. \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} [\hat{q}^i(t),\dot{\hat{q}}^j(t)] ~\stackrel{(5)}{=}~&i\hbar~ G^{ij} {\bf 1},\cr [\hat{q}^i(t),\hat{q}^j(t)]~=~&0. \end{align} \tag{7}$ Deducimos que el orden temporal covariante es $\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} T_{C o v} {{\hat{q}}^{i} (t_{1}) {\hat{q}}^{j} (t_{2})} \equiv & T {{\hat{q}}^{i} (t_{1}) {\hat{q}}^{j} (t_{2})}, \\ T_{C o v} {{\hat{q}}^{i} (t_{1}) {\dot{\hat{q}}}^{j} (t_{2})} \equiv & \frac{d}{d t_{2}} T {{\hat{q}}^{i} (t_{1}) {\hat{q}}^{j} (t_{2})} \\ = & \frac{d}{d t_{2}} {θ (t_{1} - t_{2}) {\hat{q}}^{i} (t_{1}) {\hat{q}}^{j} (t_{2}) + θ (t_{2} - t_{1}) {\hat{q}}^{j} (t_{2}) {\hat{q}}^{i} (t_{1})} \\ = & T {{\hat{q}}^{i} (t_{1}) {\dot{\hat{q}}}^{j} (t_{2})} - d (t_{1} - t_{2}) [{\hat{q}}^{i} (t_{1}), {\hat{q}}^{j} (t_{2})] \\ \overset{(7)}{=} & T {{\hat{q}}^{i} (t_{1}) {\dot{\hat{q}}}^{j} (t_{2})}, \\ T_{C o v} {{\dot{\hat{q}}}^{i} (t_{1}) {\dot{\hat{q}}}^{j} (t_{2})} \equiv & \frac{d}{d t_{1}} \frac{d}{d t_{2}} T {{\hat{q}}^{i} (t_{1}) {\hat{q}}^{j} (t_{2})} \\ = & \frac{d}{d t_{1}} T {{\hat{q}}^{i} (t_{1}) {\dot{\hat{q}}}^{j} (t_{2})} \\ = & \frac{d}{d t_{1}} {θ (t_{1} - t_{2}) {\hat{q}}^{i} (t_{1}) {\dot{\hat{q}}}^{j} (t_{2}) + θ (t_{2} - t_{1}) {\dot{\hat{q}}}^{j} (t_{2}) {\hat{q}}^{i} (t_{1})} \\ \overset{(7)}{=} & T {{\dot{\hat{q}}}^{i} (t_{1}) {\dot{\hat{q}}}^{j} (t_{2})} + i ℏ {GRAMO}^{i j} 1 d (t_{1} - t_{2}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} T_{\rm cov}\{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\} ~\equiv~& T\{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\},\cr T_{\rm cov}\{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} ~\equiv~&\frac{d}{dt_2} T\{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\}\cr ~=~&\frac{d}{dt_2}\left\{\theta(t_1\!-\!t_2)\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)+ \theta(t_2\!-\!t_1)\hat{q}^j(t_2)\hat{q}^i(t_1)\right\}\cr ~=~&T \{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} -\delta(t_1\!-\!t_2)[\hat{q}^i(t_1),\hat{q}^j(t_2)]\cr ~\stackrel{(7)}{=}~&T \{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\},\cr T_{\rm cov} \{\dot{\hat{q}}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} ~\equiv~&\frac{d}{dt_1}\frac{d}{dt_2} T \{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\}\cr ~=~&\frac{d}{dt_1}T \{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\}\cr ~=~&\frac{d}{dt_1}\left\{\theta(t_1\!-\!t_2)\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)+ \theta(t_2\!-\!t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\hat{q}^i(t_1) \right\} \cr ~\stackrel{(7)}{=}~&T \{\dot{\hat{q}}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} ~+~\color{red}{i\hbar~ G^{ij} {\bf 1} \delta(t_1\!-\!t_2)}. \end{align}\tag{8}$ Hemos marcado en rojo el término no covariante.
Considere a continuación una línea de Wilson
$\begin{matrix} (9) & Exp {\frac{i}{ℏ} \int d t A_{i} (q) {\dot{q}}^{i}} . \end{matrix}$ $\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ A_i(q)\dot{q}^i \right\}. \tag{9}$ Del teorema de Wick , eq. (8) se exponen a $\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} T_{C o v} Exp & {\frac{i}{ℏ} \int d t A_{i} (\hat{q}) {\dot{\hat{q}}}^{i}} \\ \overset{(8)}{=} & Exp {\frac{i ℏ}{2} \iint d t_{1} d t_{2} {GRAMO}^{i j} \frac{d}{d {\dot{\hat{q}}}^{i} (t_{1})} \frac{d}{d {\dot{\hat{q}}}^{j} (t_{2})}} \\ T Exp {\frac{i}{ℏ} \int d t A_{i} (\hat{q}) {\dot{\hat{q}}}^{i}} \\ = & T Exp {\frac{i}{ℏ} \int d t (A_{i} (\hat{q}) {\dot{\hat{q}}}^{i} - \frac{1}{2} A^{2} (\hat{q}))} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} T_{\rm cov}\exp & \left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ A_i(\hat{q})\dot{\hat{q}}^i \right\}\cr ~\stackrel{(8)}{=}~&\exp\left\{ \color{red}{ \frac{i\hbar}{2} \iint dt_1 ~dt_2~G^{ij} \frac{\delta}{\delta \dot{\hat{q}}^i(t_1)} \frac{\delta}{\delta \dot{\hat{q}}^j(t_2)} }\right\}\cr &\qquad T\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ A_i(\hat{q})\dot{\hat{q}}^i \right\}\cr ~=~&T\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt\left( A_i(\hat{q})\dot{\hat{q}}^i -\color{red}{\frac{1}{2} A^2(\hat{q})} \right)\right\} .\end{align} \tag{10}$
La derivación estándar $^2$ de la función de partición/integral de trayectoria espacial hamiltoniana del formalismo del operador en la imagen de Heisenberg es así
$\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} Z_{H} \sim & _{H} ⟨ q_{F}, t_{F} | q_{i}, t_{i} ⟩_{H} \\ = & _{H} ⟨ q_{F}, 0 | T_{C o v} Exp {- \frac{i}{ℏ} \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t H (\hat{q}, \hat{PAG})} | q_{i}, 0 ⟩_{H} \\ = & _{H} ⟨ q_{F}, 0 | T Exp {- \frac{i}{ℏ} \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t H (\hat{q}, \hat{PAG})} | q_{i}, 0 ⟩_{H} \\ = & \int_{q (t_{i}) = q_{i}}^{q (t_{F}) = q_{F}} D q D PAG Exp {\frac{i}{ℏ} S_{H} [q, PAG]} \\ \overset{Gauss. En t.}{\sim} & \int_{q (t_{i}) = q_{i}}^{q (t_{F}) = q_{F}} D q D mi t ({GRAMO}_{i j})^{1 / 2} Exp {\frac{i}{ℏ} S [q]} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_H~\sim~~~&{}_H\langle Q_f,t_f |Q_i,t_i\rangle_H \cr ~=~~~&{}_H\langle Q_f,0| T_{\rm cov} \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\!dt~ H(\hat{Q},\hat{P})\right\} |Q_i,0\rangle_H \cr ~=~~~&{}_H\langle Q_f,0| T \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\!dt~ H(\hat{Q},\hat{P})\right\} |Q_i,0\rangle_H \cr ~=~~~&\int_{Q(t_i)=Q_i}^{Q(t_f)=Q_f}\! {\cal D}Q~{\cal D}P~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}S_H[Q,P]\right\}\cr \stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}&\int_{Q(t_i)=Q_i}^{Q(t_f)=Q_f}\! {\cal D}Q~ {\rm Det}(G_{ij})^{1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S[Q]\right\} . \end{align} \tag{11}$
En la imagen de interacción tenemos $^3$
$\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} Z_{H} \sim & _{H} ⟨ q_{f}, 0 | T_{c o v} \exp {- \frac{i}{ℏ} \int d t H_{i n t} (\hat{q}, \hat{p})} | q_{i}, 0 ⟩_{H} \\ = & _{H} ⟨ q_{f}, 0 | T \exp {- \frac{i}{ℏ} \int d t H_{i n t} (\hat{q}, \hat{p})} | q_{i}, 0 ⟩_{H} \\ \overset{(5)}{=} & _{H} ⟨ q_{f}, 0 | T \exp {- \frac{i}{ℏ} \int d t H_{i n t} (\hat{q}, G \dot{\hat{q}})} | q_{i}, 0 ⟩_{H} \\ \overset{(6)}{=} & _{H} ⟨ q_{f}, 0 | T \exp {\frac{i}{ℏ} \int d t (L_{i n t} (\hat{q}, \dot{\hat{q}}) - \frac{1}{2} A^{2} (\hat{q}))} | q_{i}, 0 ⟩_{H} \\ \overset{(10)}{=} & _{H} ⟨ q_{f}, 0 | T_{c o v} \exp {\frac{i}{ℏ} \int d t L_{i n t} (\hat{q}, \dot{\hat{q}})} | q_{i}, 0 ⟩_{H} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_H~\sim~& {}_H\langle q_f,0| T_{\rm cov} \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ H_{\rm int}(\hat{q},\hat{p})\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~=~&{}_H\langle q_f,0| T \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ H_{\rm int}(\hat{q},\hat{p})\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~\stackrel{(5)}{=}~&{}_H\langle q_f,0| T \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ H_{\rm int}(\hat{q},G\dot{\hat{q}})\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~\stackrel{(6)}{=}~&{}_H\langle q_f,0| T \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt\left( L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}})-\color{red}{\frac{1}{2} A^2(\hat{q})} \right)\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~\stackrel{(10)}{=}~&{}_H\langle q_f,0| T_{\rm cov} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}})\right\}|q_i,0\rangle_H .\end{align}\tag{12}$ We find that two effects cancel each other, the non-covariant term in the interaction Hamiltonian (6) and the Wick's theorem (10), so that the partition function (12) is Lorentz covariant. This is the main answer to OP's question.
We suggest for completeness an interaction picture phase space path integral
$\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} Z_{H} \overset{(12)}{\sim} & \int_{q (t_{i}) = q_{i}}^{q (t_{f}) = q_{f}} D q D p \\ \exp {\frac{i}{ℏ} S_{H, 0} [q, p] + \frac{i}{ℏ} \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t (- \frac{1}{2} {\dot{q}}^{2} + L_{i n t} (\hat{q}, \dot{\hat{q}}))} \\ \overset{Gauss. int.}{\sim} & \int_{q (t_{i}) = q_{i}}^{q (t_{f}) = q_{f}} D q D e t (G_{i j})^{1 / 2} \exp {\frac{i}{ℏ} \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t L_{i n t} (\hat{q}, \dot{\hat{q}})} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_H~\stackrel{(12)}{\sim}~~~& \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f}\! {\cal D}q~{\cal D}p~\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{H,0}[q,p] +\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\!dt \left(-\frac{1}{2}\dot{q}^2 + L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}}) \right)\right\}\cr ~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}& \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f}\! {\cal D}q~ {\rm Det}(G_{ij})^{1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f}\!dt~ L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}}) \right\}. \end{align}\tag{13}$
The naive Lagrangian path integral
$\begin{matrix} (14) & Z_{L} \sim \int_{Q (t_{i}) = Q_{i}}^{Q (t_{f}) = Q_{f}} D Q \exp {\frac{i}{ℏ} S [Q]} \end{matrix}$ $Z_L~\sim~\int_{Q(t_i)=Q_i}^{Q(t_f)=Q_f}\! {\cal D}Q~ \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S[Q]\right\} \tag{14}$ may differ from the Hamiltonian phase space path integral (11) because it lacks the determinant from the Gaussian integration over momenta $P_j$ . In practice, it is often implicitly implied that the path integral measure ${\cal D}Q$ in eq. (14) contains this determinant factor by definition. In other words, the definition of $Z_L$ is tweaked to agree with $Z_H$ . See also this related Phys.SE post.

References:

M.D. Schwartz, QFT and the Standard Model, 2014; Section 9.2.
C. Itzykson & J.B. Zuber, QFT, 1985; Subsection 6-1-4.
S. Weinberg, Quantum Theory of Fields, Vol. 1, 1995; Sections 7.2, 7.5 & 9.3.
M. Srednicki, QFT, 2007; Chapter 6. A prepublication draft PDF file is available here.

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$^1$ Notation: We will suppress spatial (but not temporal) dimensions by using DeWitt condensed notation. Capital letters for fields in the Heisenberg picture and small letters for fields in the interaction picture. The metric $G_{ij}(Q)$ in configuration space should not be confused with the space(time) metric.

$^2$ There is a usual story on how to wash out instantaneous eigenstates and replace them with a vacuum state, which we will not repeat here, see e.g. Ref. 4.

$^3$ Debe enfatizarse que la derivación aquí es formal y descaradamente enfocada en el término no covariante marcado en rojo. Hemos ignorado varios problemas de ordenación de operadores de orden superior, cf. por ejemplo , este y este Phys.SE publicaciones.

Referencias adicionales: 5. LH Ryder, QFT, 2nd eds., 1996; Sección 5.5.

Interacción derivada: Hint≠−LintHint≠−Lint\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}. Pregunta sobre las reglas de Feynman

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