Elementos de matriz S en formalismo integral de ruta

Tengo una pregunta relacionada con la conexión entre los elementos S-Matrix y el formalismo de la integral de caminos. Para formular la pregunta, solo trabajaré con una teoría de campo escalar por simplicidad.

Supongamos que se nos da una acción$S[\phi]$. En el formalismo de la integral de caminos, ahora podemos definir la funcional generatriz

$$\begin{equation} Z[J] \propto \int \mathcal{D}\phi ~ e^{i S[\phi] + \int d^4x~ \phi(x) J(x)} \end{equation}$$ y calcular valores esperados de vacío arbitrarios $$\begin{equation} \left<0| \phi(x_1) \ldots \phi(x_n) | 0 \right> \end{equation}$$ usando derivadas funcionales con respecto a la fuente $J$. También sé cómo calcular los valores esperados de vacío en el "formalismo de cuantificación canónica" (teorema de Wick, etc.). Hasta ahora, todo bien.

Por lo general, no estamos interesados ​​​​en vevs sino en elementos de matriz S como$\left<p_1, \ldots, p_n|q_1, \ldots, q_m \right>$dónde$p_i$y$q_j$son momentos salientes y entrantes de partículas. Además, la transición entre$S$-elementos de matriz y vevs también es claro para mí: esto solo lo da la fórmula de reducción LSZ. Entonces, en principio, ahora estamos listos para comenzar: podemos calcular todo en el formalismo de integral de ruta y eventualmente relacionar esto con elementos de matriz reales usando la fórmula LSZ.

Ahora vienen mis preguntas reales:

1. Parece que hay una relación más directa entre los elementos de la matriz S y el formalismo de la integral de caminos. De hecho, en el artículo de Wikischolar sobre las identidades de Slavnov-Taylor (escrito por el propio Dr. Slavnov) se afirma que el$S$matriz se puede escribir como$S = Z[0]$. ¿De dónde viene esto y cómo se interpreta? Estoy confundido porque pensé que$S$era más bien una matriz (cuyas entradas, es decir, los elementos de la matriz son números) y$Z[0]$es solo un número (una integral evaluada). Así que para mí, esto se lee como "matriz = número"... Además, si esta ecuación es cierta, ¿cómo podemos obtener el$S$elementos de la matriz de allí?

2. Aún más confuso, parece haber otra relación con el$S$-elemento matriz. He encontrado esto en Weinberg Vol. II, capítulo 15.7 en torno a la ecuación (15.7.27). Ahí tenemos una acción que es de la forma$I + \delta I$(el contexto es aquí que$I$es la acción de calibre fijo de una teoría de calibre no abeliana y$\delta I$es el cambio debido a una pequeña variación en la condición de fijación del calibre, pero esto realmente no importa aquí). Dice entonces: Es un requisito físico fundamental que los elementos de la matriz entre estados físicos sean independientes de nuestra elección de la condición de fijación del calibre, o en otras palabras, de$\delta I$. El cambio en cualquier elemento de la matriz.$\langle\alpha|\beta\rangle$debido a un cambio$\delta I$en$I$es

   $$\begin{equation} \delta \langle\alpha|\beta\rangle ~\propto ~\langle\alpha|\delta I|\beta\rangle. \end{equation}$$ Así que ahora, parece haber incluso una relación entre la acción y el$S$-elementos de la matriz. ¿Cómo encaja esto en el cuadro completo?

Se acerca mi examen QFT, ¡así que muchas gracias por sus respuestas!