¿Cuál es el papel de la ecuación clásica de movimiento en la teoría cuántica de campos?

Existe una conexión íntima entre la física clásica y la cuántica; véase, por ejemplo, el principio de correspondencia de Bohr , el teorema de Ehrenfest , la aproximación WKB y las ecuaciones de Schwinger-Dyson (SD) para empezar.

Un caso particular de las ecuaciones SD$\langle \frac{\delta S}{\delta\phi}\rangle=0$muestra que los EOM clásicos se satisfacen en un sentido promediado cuánticamente en el mundo cuántico.

Además, se puede demostrar que las trayectorias clásicas dan las contribuciones dominantes a la integral de trayectoria cuántica .

Para esta pregunta, creo que dos tipos de ecuaciones deben discutirse juntas.

1. Ecuaciones de movimiento para los campos fundamentales en una teoría lagrangiana. Estos son los que aparecen en la formulación de la integral de trayectoria que te dice qué tan probable debería ser cierta desviación.
2. Ecuaciones de conservación satisfechas por polinomios en aquellos campos que corresponden a corrientes. Aunque podría haber anomalías , en general deberíamos esperar que estas ecuaciones todavía tengan algo que decir sobre la teoría cuántica.

Ya se han planteado algunas cuestiones sobre la cuantificación. Por ejemplo, un campo cuántico libre a menudo se expresa en términos de ondas planas.$e^{i p x}$porque estos resuelven la ecuación de Klein-Gordon. Pero excitar cada onda plana individualmente es solo algo que podemos hacer porque$\phi(x)$es una simple suma de ellos y esto solo es cierto porque la ecuación de Klein-Gordon es lineal. Entonces, en este sentido, el hecho de que el espacio de Hilbert sea un espacio de Fock es de hecho una consecuencia de la ecuación de movimiento. Por lo tanto, es comprensible que los libros de texto no discutan los QFT interactivos de la misma manera. Si lo hicieran, se limitarían esencialmente a ciertos QFT integrables que pueden tratarse con un enfoque similar .

Sin embargo, creo que el mayor cambio en el punto de vista se produce porque promovemos los campos a los operadores. No hay forma de medir directamente la distribución valorada por un operador. A los experimentalistas les gustan los elementos de la matriz S o las funciones de Green, donde podemos conectar una posición o un impulso y obtener un número. Entonces, tenemos que preguntarnos si las ecuaciones de movimiento pueden "sacarse de los corchetes" y tomarse para actuar sobre las propias funciones de correlación. La respuesta a esto es sí , pero viene con sutilezas. Por ejemplo, el propagador de campo libre es una función de Green de la ecuación de Klein-Gordon, por lo que en lugar de

$$(\partial_x^2 + m^2) \left < \phi(x) \phi(y) \right > = 0$$ tenemos $$(\partial_x^2 + m^2) \left < \phi(x) \phi(y) \right > = \delta(x - y).$$ Es lo que se conoce como ecuación operadora que se convierte en la ecuación clásica si sólo la consideramos en puntos separados . Esta distinción está relacionada con el hecho de que dos campos pueden multiplicarse a voluntad en una teoría clásica, mientras que los operadores compuestos son singulares en una teoría cuántica y deben volver a normalizarse. Esto también sucede con las leyes de conservación, como $$\partial_\mu \left < T^{\mu\nu}(x) O_1(x_1) \dots O_n(x_n) \right > = -\sum_i \delta(x - x_i) \partial^\nu_i \left < O_1(x_1) \dots O_n(x_n) \right >$$ que es la ecuación del operador para el tensor de tensión.

La cuestión es que, una vez que se da este salto a las ecuaciones de operadores, restringen absolutamente la teoría cuántica de maneras poderosas. Las identidades de barrio en las teorías de calibre, que relacionan diferentes funciones de Green, surgen debido a la conservación actual. Algunas dimensiones de escala en las teorías conformes se pueden calcular exactamente porque las ecuaciones de movimiento son equivalentes a las condiciones de acortamiento . Es decir, especifican que un operador debe transformarse en una representación especial del grupo conforme donde se garantiza la desaparición de varios descendientes. Este análisis también es importante cuando agregamos interacciones que rompen la invariancia conforme. Sabemos que las interacciones conducen a dimensiones anómalas pero esto implica que las representaciones cortas deben convertirse en largas. Esto nuevamente conduce a restricciones (a veces lo suficientemente poderosas como para obviar los diagramas de Feynman) porque un espacio de Hilbert genérico no proporcionaría la materia que el multiplete corto necesita "comer". Finalmente, si uno adopta el superespacio, todos estos supermultipletes cortos (con nombres como "medio BPS" y similares) también pueden considerarse soluciones a las ecuaciones de movimiento. Y los usos inteligentes de estas ecuaciones de movimiento están detrás de algunos métodos modernos para estudiar QFT supersimétrico por medio de un "giro" que convierte un observable complicado en algo que es topológico u holomorfo.