Integral de trayectoria en física estadística y derivadas de temperatura

Estoy interesado en cómo tomar derivados en lugar de$\beta$, de la función de partición.

Definirlo de la manera habitual como$Z =\text{Tr} \, e^{- \beta H}$está claro que uno consigue

$\partial_\beta Z =- \text{Tr} ( H e^{- \beta H})$

En la representación integral de la ruta de estado coherente para un solo campo, la función de partición tiene la forma

$Z = \int D(\Psi^*,\Psi) \exp\left\{ - \int_0^\beta d\tau \left( \Psi^* \partial_\tau \Psi + H(\Psi^*,\Psi) \right) \right\}$

Con la condición de frontera$\Psi(0)= \pm \Psi(\beta)$.

¿Cómo se expresa la derivada?$\beta$realizado en este caso?

EDITAR:

Permítanme especificar más mi problema y mostrarles dónde está mi problema.

El principal punto de confusión proviene de la representación continua.

Consideremos el oscilador armónico y calculemos el valor esperado del hamiltoniano. Vemos a partir de la mecánica estadística que podemos obtenerlo por

$<H> = \frac{-1}{Z} \partial_\beta Z$

La acción para este caso, en base a estado coherente, viene dada por:

$S= \int_0^\beta d\tau \Psi^*(\tau)(\partial_\tau + \omega) \Psi(\tau) = \int_0^\beta d\tau \Psi^*(\tau) G^{-1}(\tau) \Psi(\tau)$

Poniendo esto en la expresión para el promedio del hamiltoniano y tomando la derivada solo a la exponencial y no a la medida que se obtiene

$\frac{1}{Z} \int D(\Psi^*,\Psi) \exp\left\{ - \int_0^\beta d\tau \left( \Psi^* G^{-1} \Psi \right) \right\} \partial_\beta \int_0^\beta d\tau \Psi^*(\tau) G^{-1}(\tau) \Psi(\tau)$ $= \frac{1}{Z} \int D(\Psi^*,\Psi) \exp\left\{ - \int_0^\beta d\tau \left( \Psi^* G^{-1} \Psi \right) \right\} \Psi^*(\beta) G^{-1}(\beta) \Psi(\beta)$

Los únicos términos que no son iguales en numerador y denominador son los términos en$\beta$. Por lo tanto, cancelan en todas partes excepto en la "fracción de tiempo"$\beta$. Por lo tanto uno obtiene

$= \frac{\int D(\Psi^*,\Psi)_\beta \exp\left\{ - \left( \Psi^* G^{-1} \Psi \right)(\beta) \right\} \Psi^*(\beta) G^{-1}(\beta) \Psi(\beta)}{\int D(\Psi^*,\Psi)_\beta \exp\left\{ - \left( \Psi^* G^{-1} \Psi \right) (\beta)\right\} } =1$

En el último paso se realizan las integrales de Gauss.

Este resultado es incorrecto. Puedo reproducir el resultado correcto en la versión dividida en tiempo de la integral de ruta, pero no veo cómo funciona en el límite continuo.