¿Por qué los modos sin espacios son iguales tanto en la teoría cuántica como en la estadística de campos?

El$d$al comienzo de su pregunta no es lo mismo que el de su cita. La cita compara la mecánica cuántica ordinaria con la teoría estadística de campos en una dimensión espacial (es cierto que Mermin-Wagner también se mantiene en 2 dimensiones euclidianas, pero la cita explica que es especialmente fácil de ver en 1). Entonces escribiré esta respuesta discutiendo 1 dimensión euclidiana para evitar complicaciones innecesarias.

La función de partición en el lado de la mecánica cuántica es

$$Z=Tr\left(e^{-H\tau}\right)$$ donde esto corresponde a la teoría estadística de campos en volumen finito $\tau$, pero al final podemos enviar $\tau\rightarrow \infty$. Esto se puede expandir de la forma habitual para escribirlo como una integral de trayectoria, pero también es útil para tomar la traza con respecto a los estados propios de energía.

Por ejemplo, una función de correlación para un operador$x$es algo como

$$\frac{Tr\left(e^{-H(\tau-\tau_f)}xe^{-H(\tau_f-\tau_i)}xe^{-H\tau_i}\right)}{Tr(e^{-H\tau})}=\frac{\sum_ie^{-E_i(\tau-\tau_f)}\langle i|xe^{-H(\tau_f-\tau_i)}x|i\rangle e^{-E_i\tau_i}}{\sum_i e^{-E_i\tau}}$$ $$=\frac{\sum_{i,j}e^{-E_i\tau}e^{-(E_j-E_i)(\tau_f-\tau_i)}|\langle j|x|i\rangle|^2 }{\sum_i e^{-E_i\tau}}\rightarrow \sum_j e^{-(E_j-E_0)(\tau_f-\tau_i)}|\langle j|x|0\rangle|^2$$ donde en la última línea estamos tomando el límite $\tau\rightarrow \infty$.

El término que decae más lentamente en la función de correlación (suponiendo que$x$tiene valor esperado cero) es el del estado de energía más bajo$j$para el cual el coeficiente del elemento de la matriz no se anula. Entonces, una mecánica cuántica con brechas donde hay un distinto de cero$E_j-E_0$por un minimo$E_j$corresponde a una longitud de correlación finita en el modelo estadístico. Si no hay brecha, por ejemplo en la mecánica cuántica de una partícula libre, este argumento se rompe y hay 'correlaciones de largo alcance' (por ejemplo, ley de potencia o logarítmica).

En una teoría cuántica de campos donde hay una brecha de masa, se mantiene exactamente el mismo argumento. un campo$x$crea una partícula en reposo con masa$m$(y varios estados de mayor energía que afectan el comportamiento de corto alcance), y esta brecha de masa se convierte en la longitud de correlación en el lado estadístico.

La cita explica que, dado que la mecánica cuántica de una partícula en una esfera tiene un espacio (los estados propios son armónicos esféricos), debe haber una longitud de correlación finita para cualquier campo. No hay modos 'sin intervalos' con correlaciones de largo alcance.

Esta idea de 'sin intervalos' en términos de longitud de correlación no es la misma que la definición que propuso. Hay configuraciones de modos clásicos de Goldstone con energía libre arbitrariamente baja que está sumando en la integral de trayectoria, pero no corresponden a estados en el lado de la mecánica cuántica, y las funciones de correlación tienen una longitud de correlación finita.