Conexión entre QFT y física estadística de transiciones de fase

No responderé directamente a su pregunta, sino que intentaré hacer plausible la conexión entre QFT y la física estadística. En mi opinión, los detalles matemáticos son algo oscuros y confusos, mientras que vale la pena usar la teoría y da resultados interesantes, especialmente en problemas de materia condensada y materia nuclear. Para más detalles puedes echar un vistazo a las referencias históricas

AA Abrikosov, LP Gor'kov e IE Dzyaloshinsky, Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Prentice Hall, 1963).

LP Kadanoff y G. Baym, Mecánica estadística cuántica (Westview Press, 1962)

y algunas cuentas modernas (incluida la ruta integral si es todo lo que desea)

A. Altland y B. Simons, Teoría del campo de la materia condensada (Cambridge University Press, 2010).

A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell , (Princeton University Press, 2003).

así como el libro intermediario

JW Negele y H. Orland, Quantum Many-particle Systems (Westview Press, 1998)

La idea básica de la conexión entre la teoría cuántica de campos y la física estadística es la semejanza entre el operador de evolución de Schrödinger$e^{-\mathbf{i}Ht/\hbar}$y el peso de Gibbs$e^{-\beta H}$con$\beta=\left(k_{B}T\right)^{-1}$que representa la temperatura.

En problemas de muchos cuerpos a temperatura cero, lo que más nos interesa es el estado fundamental, por lo que queremos calcular cosas como el valor esperado de un observable$O$, definido como

$$\left\langle O\right\rangle =\left\langle \emptyset\right|O\left(t\right)\left|\emptyset\right\rangle =\left\langle \emptyset\right|e^{\mathbf{i}Ht/\hbar}Oe^{-\mathbf{i}Ht/\hbar}\left|\emptyset\right\rangle$$ con$\left|\emptyset\right\rangle$el estado fundamental. Su dependencia del tiempo proviene de la ecuación de Heisenberg, y por simplicidad supuse un hamiltoniano independiente del tiempo$H$. La generalización no es complicada, y se lee $$\left\langle O\right\rangle =\left\langle \emptyset\right|U\left(-\infty,t\right)OU^{\dagger}\left(t,-\infty\right)\left|\emptyset\right\rangle$$ con el operador de evolución$U$verificando la ecuación de Schrödinger$\mathbf{i}\hbar dU/dt=HU$para cualquier hamiltoniano dependiente del tiempo$H$. Supusimos que en ese momento$t\rightarrow-\infty$el sistema estaba en su estado fundamental. La fórmula anterior es la base para la teoría de la perturbación (ver más abajo).

En física estadística, estamos interesados ​​en el estado fundamental dependiente de la temperatura. Así que solo queremos saber algo como

$$\left\langle O\right\rangle =\text{Tr}\left\{ \rho O\right\} \rightarrow\text{Tr}\left\{ e^{-\beta H}O\right\} =\left\langle \emptyset\right|e^{-\beta H}O\left|\emptyset\right\rangle$$ donde reconoces el promedio cuántico a la izquierda de la flecha, con$\rho$la matriz de densidad. A la derecha de la flecha, puede reconocer el promedio estadístico , cuando la matriz de densidad se convierte en el promedio de Gibbs con$\beta=\left(k_{B}T\right)^{-1}$($k_{B}$es la constante de Boltzmann y$T$es la temperatura). El potencial químico se descarta por simplicidad.

Ahora el truco de magia: gracias a la semejanza entre las escrituras de temperatura cero y finita, definimos un operador$\tilde{O}\left(\tau\right)=e^{H\tau}Oe^{-H\tau}$que se ve igual que el anterior$e^{\mathbf{i}Ht/\hbar}Oe^{-\mathbf{i}Ht/\hbar}$excepto por la redefinición del tiempo $\tau=\mathbf{i}t/\hbar$, que en la práctica representa la temperatura. Si lo desea, puede ver esa reescritura como una representación de Heisenberg del operador$O$(en tiempo imaginario, sin embargo). El punto importante es que uno puede adaptar las técnicas de perturbación a los problemas de temperatura. Supongamos, por ejemplo, como de costumbre, que$H=H_{0}+H_{\text{int}}$con un conocido imperturbable$H_{0}$y un perturbativo$H_{\text{int}}$. Luego definimos el$S$matriz como$e^{-H\tau}=e^{-H_{0}\tau}S\left(\tau\right)$lo que da, después de la diferenciación

$$-\frac{dS}{d\tau}=\tilde{H}_{\text{int}}S\left(\tau\right)\Rightarrow S\left(\tau\right)=T_{\tau}\exp\left[-\int\tilde{H}_{\text{int}}d\tau\right]$$ con$\tilde{H}_{\text{int}}=e^{H_{0}\tau}H_{\text{int}}e^{-H_{0}\tau}$siendo la interacción-representación de la interacción-hamiltoniana. Reconocemos la ecuación de Schrödinger verificada por la$S$operador, y$T_{\tau}$es el operador de orden cronológico en el$\tau$variable. Entonces, en principio, todo lo que sabe sobre la ecuación de Schrödinger, el operador de evolución o, de manera más general, sobre la física cuántica se aplica directamente a la física estadística clásica.

Usando este truco tenemos$e^{-\beta H}=e^{-H_{0}\beta}S\left(\beta\right)$en el promedio estadístico de la$O$-observable. Ahora la teoría de la perturbación para$S$te ayuda a encontrar$\left\langle O\right\rangle$. Eso no es más complicado.

Ahora la conexión con la integral de trayectoria: dado que queremos hablar de física estadística (o sistemas de muchos cuerpos), se necesita una forma de cuantificar los campos de fermiones y bosones. Así es como usamos las integrales de ruta.

Y finalmente la conexión con la transición de fase: aparece una transición de fase cuando el estado fundamental del hamiltoniano completo no verifica todas las simetrías de$H$. Entonces, la teoría de la perturbación puede ayudarlo a encontrar el nuevo estado fundamental. Puede usar, por ejemplo, el desacoplamiento Hubbard-Stratonovitch para obtener el nuevo estado fundamental.

Comentario final: a veces no se puede obtener el nuevo estado fundamental de forma perturbativa, por lo que se necesitan técnicas más evolucionadas. Todos provienen de la reescritura integral de la ruta de lo que dije anteriormente.

Empecé a escribir una respuesta adecuada para ti y luego me di cuenta de que la vida es demasiado corta. La respuesta que está buscando es **Hagen Kleinert: "Integrales de trayectoria en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros" ** Solo tiene un poco más de 1500 páginas. Si lee 200 páginas todos los días y luego piensa detenidamente en la información, puede encontrar la conexión que ha estado buscando en solo unos 10 días.

Godspeed!