Función de Green para la ecuación no homogénea de Klein-Gordon

Question

Función de Green para la ecuación no homogénea de Klein-Gordon

Física
propagador
greens-funciones
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

arturo suvorov

Estoy tratando de resolver la enorme ecuación de Klein-Gordon en el viejo espacio-tiempo de Minkowski:

(◻ + {metro}^{2}) ϕ = ρ (t, X)

$(\square + m^2) \phi = \rho(t,\mathbf{x})$ dónde

◻ = \partial_{μ} \partial^{μ} = \partial_{t}^{2} - \nabla^{2}

$\square = \partial_{\mu} \partial^{\mu} = \partial_{t}^2 - \nabla^2$ . Entonces uno puede usar el enfoque de la función de Green para encontrar la solución fundamental de la forma

(◻ + {metro}^{2}) {GRAMO}_{metro} = d (X^{m} - X^{' m})

$(\square + m^2) \mathscr{G}_{m} = \delta(x^{\mu} - x'^{\mu})$ dónde

G_{m}

$\mathscr{G}_{m}$ es el conocido propagador de Klein-Gordon. Entonces se obtiene la solución

ϕ

$\phi$ en el espacio de posición, dado como la solución familiar

ϕ (X^{m}) = \int d^{4} X^{'} {GRAMO}_{metro} (X^{m}, X^{' m}) ρ (t^{'}, X^{'}) (⋆)

$\phi(x^{\mu}) = \int d^{4} x' \mathscr{G}_{m}(x^{\mu},x'^{\mu}) \rho(t',\mathbf{x}') \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\star)$ Estaba perfectamente feliz con esto hasta que necesité implementar un

ρ

$\rho$ y realiza las integrales. Mi mejor apuesta hasta ahora ha sido usar la representación de la función de Bessel que encontré (aquí: http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselJ/31/02/ ) (que supuse que tiene una generalización) de la forma:

{GRAMO}_{metro} (t, t^{'}, X, X^{'}) = \frac{θ (t - t^{'})}{2 π} d ((t - t^{'})^{2} - | X - X^{'} |^{2}) - \frac{metro}{2 π} θ (t - t^{'} - | X - X^{'} |) \frac{j_{1} (metro \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | X - X^{'} |^{2})}}{metro \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | X - X^{'} |^{2})}}

$\mathscr{G}_{m}(t,t',\mathbf{x},\mathbf{x}') = \frac {\theta(t-t')} {2 \pi} \delta\Big( (t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x'}|^2 \Big) - \frac {m} {2 \pi} \theta(t-t' - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|) \frac {J_{1}(m \sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2)}} {m\sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2)}}$ Si bien esta es una buena representación de forma cerrada, todavía tengo dificultades para evaluar la integral.

(⋆)

$(\star)$ . He buscado durante bastante tiempo en varios lugares ejemplos explícitos de cómo calcular la integral, y hasta ahora he encontrado muy pocos. Mathematica (mi programa computacional de elección) realmente desdeña estas funciones de Heaviside en las integrales y ofrece poca orientación. El único caso que puedo hacer hasta ahora es

m \mapsto 0

$m \mapsto 0$ .

Pregunta: Usando la representación de $\mathscr{G}_{m}$ dado (u otro mejor), ¿cómo se puede hacer realmente para calcular $(\star)$ ? ¿Alguien tiene una referencia en la que se calcule algún ejemplo explícito donde $\rho$ va más allá de un simple $\delta$ -¿función? Incluso algo como $\rho = \rho(r,\theta)$ o $\rho = \rho(r)$ seria de gran ayuda

¡Gracias!

jamals

Por favor, publique el específico

ρ (x, t)

$\rho(x,t)$ , hay que tratar caso por caso.

arturo suvorov

Estoy buscando una estrategia genérica aquí, lo que puede ser una ilusión, supongo. Los detalles asociados con

ρ

$\rho$ no son tan importantes (ya que tengo muchos casos con los que buscaría jugar eventualmente). Quiero saber si la representación que tengo allí es buena para los cálculos y cómo se haría. Idealmente, esperaba que alguien supiera una referencia en la que se calculan algunos ejemplos explícitos. Incluso algo como

ρ = a r^{2} + b r + c

$\rho = a r^2 + b r + c$ Sería útil, ya que puedo ver esto y espero generalizar. Tal como está, realmente no sé cómo abordarlo.

Neuneck

Si las funciones de Heaviside son el problema, ¿puede intentar resolver el problema sin ellas e implementar una distinción de casos a mano? Los Heaviside parecen implementar la causalidad...

arturo suvorov

Gracias, @Neuneck, definitivamente vale la pena intentarlo. Sin embargo, con respecto a las integraciones, estoy luchando para evaluar incluso

\int d^{4} X^{'} \frac{j_{1} (metro \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | X - X^{'} |^{2}}}{metro \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | X - X^{'} |^{2}}}

$\int d^{4} x' \frac {J_{1}(m \sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}} {m \sqrt{(t-t')^{2} - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}}$ (Eso es cuando

ρ

$\rho$ es constante). Encontré esta ( fh-jena.de/~rsh/Forschung/Stoer/besint.pdf ) tabla de integrales de funciones de Bessel pero esta no aparece allí. ¿Hay alguna razón para suponer que la integral existe en forma elemental? Supongo que no.

una oferta no se puede rechazar

¿Tiene una referencia de cómo se deriva la función de green? Me refiero a la fórmula de wolframio

Respuestas (1)

Función de Green para la ecuación no homogénea de Klein-Gordon

Por favor, publique el específico $\rho(x,t)$ , hay que tratar caso por caso.
Estoy buscando una estrategia genérica aquí, lo que puede ser una ilusión, supongo. Los detalles asociados con $\rho$ no son tan importantes (ya que tengo muchos casos con los que buscaría jugar eventualmente). Quiero saber si la representación que tengo allí es buena para los cálculos y cómo se haría. Idealmente, esperaba que alguien supiera una referencia en la que se calculan algunos ejemplos explícitos. Incluso algo como $\rho = a r^2 + b r + c$ Sería útil, ya que puedo ver esto y espero generalizar. Tal como está, realmente no sé cómo abordarlo.
Si las funciones de Heaviside son el problema, ¿puede intentar resolver el problema sin ellas e implementar una distinción de casos a mano? Los Heaviside parecen implementar la causalidad...
Gracias, @Neuneck, definitivamente vale la pena intentarlo. Sin embargo, con respecto a las integraciones, estoy luchando para evaluar incluso $\int d^{4} X^{'} \frac{j_{1} (metro \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | X - X^{'} |^{2}}}{metro \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | X - X^{'} |^{2}}}$ $\int d^{4} x' \frac {J_{1}(m \sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}} {m \sqrt{(t-t')^{2} - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}}$ (Eso es cuando $\rho$ es constante). Encontré esta ( fh-jena.de/~rsh/Forschung/Stoer/besint.pdf ) tabla de integrales de funciones de Bessel pero esta no aparece allí. ¿Hay alguna razón para suponer que la integral existe en forma elemental? Supongo que no.
¿Tiene una referencia de cómo se deriva la función de green? Me refiero a la fórmula de wolframio

tom heinzl · Answer 1

Soy consciente de que esta es una pregunta antigua y puede considerarse algo obsoleta, pero permítanme responderla de todos modos, aunque solo sea por el bien de la exhaustividad.

La representación del espacio de posición de la función de Klein-Gordon Green (propagador) claramente parece intimidante. El truco consiste en hacer el cálculo en el espacio de cantidad de movimiento, donde el propagador es solo una función racional. Antes de hacer esto, permítanme señalar que en el caso sin masa, $m = 0$ , y para una fuente estática, $\rho = \rho (\mathbf{x})$ , en realidad se está resolviendo la ecuación de Poisson. Si la fuente es radialmente simétrica, $\rho = \rho(r)$ , como se sugiere en la pregunta, la solución es el potencial de Coulomb, $\phi = \phi(r) \sim 1/r$ . Teniendo en cuenta la masa que no desaparece, se obtiene un potencial de Yukawa, $\phi \sim \exp(-mr)/r$ .

Esto se puede mostrar explícitamente en términos de integrales de Fourier. Primero, transforma el campo,

ϕ (k) = \int d^{4} X {mi}^{i k \cdot X} ϕ (X),

$\phi(k) = \int d^4 x \, e^{i k\cdot x} \, \phi (x) \; ,$

y de manera similar la fuente, $\rho \to \rho(k)$ . La solución del espacio de cantidad de movimiento de la ecuación de KG es entonces

ϕ (k) = \frac{ρ (k)}{k^{2} - {metro}^{2} + i ϵ},

$\phi(k) = \frac{\rho(k)}{k^2 - m^2 + i \epsilon} \; ,$

con $k^2 = k_0^2 - \mathbf{k}^2$ y la causa $i\epsilon$ -prescripción. (Cambie apropiadamente para soluciones retrasadas/avanzadas). Luego transforme de nuevo al espacio de posición,

ϕ (X) = \int \frac{d^{4} k}{(2 π)^{4}} {mi}^{- i k \cdot X} \frac{ρ (k)}{k^{2} - {metro}^{2} + i ϵ} . (* *)

$\phi (x) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \, e^{-i k\cdot x} \, \frac{\rho(k)}{k^2 - m^2 + i \epsilon} \; . \quad (**)$

Como ejemplo, tome una fuente gaussiana, $\rho(r) = \rho_0 \exp(-\alpha r^2)$ , con 'normalización' $\rho_0 = (\alpha/\pi)^{3/2}$ . Su transformada de Fourier es $\rho(k) = 2\pi i \, \delta(k^0) \exp (-k^2/4\alpha)$ . los $k^0$ -integral en $(**)$ es por lo tanto trivial, y el $d^3 k$ la integración se puede hacer con la técnica habitual de residuos escribiendo $\mathbf{k}^2 + m^2 \equiv (\kappa+im)(\kappa-im)$ . El resultado es

ϕ (r) = {mi}^{{metro}^{2} / 4 α} \frac{{mi}^{- metro r}}{4 π r} .

$\phi(r) = e^{m^2/4\alpha} \, \frac{e^{-mr}}{4\pi r} \; .$

En el límite de la fuente puntual ( $\alpha \to \infty$ ) volvemos a obtener el potencial estándar de Yukawa.

Para fuentes dependientes del tiempo habrá transferencia de energía (no $\delta(k^0)$ ), y la integral $(**)$ normalmente será más difícil. Por lo general, uno puede hacer el $k^0$ -integración vía residuos y el(los) restante(s) usando fase estacionaria como por ejemplo en el Cap. 2.1 de Peskin y Schroeder.

Gracias por tomarse el tiempo para escribir esto. He visto estos enfoques antes, pero de hecho me preocupaba que no funcionaran con términos dependientes del tiempo y el ángulo. Cogeré a Peskin ya Schroeder de la biblioteca y lo intentaré; gracias por la referencia del capitulo. Seguramente, aunque las soluciones en Fourier y el espacio de posición deben ser equivalentes bajo una transformación, ¿implica esto que tenemos algunas representaciones de forma cerrada para las integrales de Bessel? ¡Interesante! Puede ser una vía de investigación interesante por derecho propio =)

Función de Green para la ecuación no homogénea de Klein-Gordon

arturo suvorov

jamals

arturo suvorov

Neuneck

arturo suvorov

una oferta no se puede rechazar

Respuestas (1)

tom heinzl

arturo suvorov

¿Cómo obtener la forma explícita de la función de Green de la ecuación de Klein-Gordon?

¿Cómo encontrar las funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon no homogénea dependiente del tiempo?

Intuición para propagadores de espín 1/2 y 1

Cálculo de la función de Green de la teoría de campos interactivos

¿Cómo interpretar las funciones de correlación en QFT?

¿Interpretación física de los propagadores retardados vs. Feynman?

¿Diverge la función de Green para la ecuación de Klein-Gordon?

Función de correlación y cuadrivectores, ¿cómo simplificar una integral triple?

¿Por qué la función de Green divergerá en el mismo punto del espacio-tiempo?

Teoría del campo cuántico, resolución de la función delta/verde